Básicamente conduce la electricidad de la misma manera en que lo hace el agua salada: ambas contienen una cierta concentración de partículas cargadas que pueden moverse libremente.
El agua contiene ciertas concentraciones de iones y protones (protones H$^+$). Cuando hay una diferencia de voltaje, los iones se moverán según su carga.
El gas caliente de la llama contiene iones cargados positivamente y electrones, los cuales se moverán de la misma manera que los iones en el agua. La razón por la que existen iones es que el calor del gas es tal que algunos de los electrones pueden liberarse de la atracción de sus átomos.
En las (relativamente) bajas temperaturas de una llama de vela, no hay muchos electrones libres, pero con un voltaje suficientemente alto, se puede obtener una buena corriente. A temperaturas mucho más altas, hay tantos electrones libres e iones positivos que los físicos dicen que la materia se encuentra en un 4to estado: plasma. El plasma se encuentra en estrellas, viento solar, reactores de fisión.
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Creo que quisiste decir llama, la cual puede contener gas ionizado. Eso debería conducir si hay un número no despreciable de portadores de carga presentes.
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Relacionado (casi un duplicado): physics.stackexchange.com/q/23469/520.
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Para tu información, hay dispositivos conocidos como detectores de llama; entre sus aplicaciones se encuentran dispositivos de seguridad en hornos domésticos. Algunos diseños de detectores de llama se basan en el hecho de que una llama contiene gas ionizado (plasma) y, por lo tanto, es conductiva.