Similitud de matrices sobre$\Bbb{Z}$

Question

Permita que$A$ sea una matriz$2 \times 2$ sobre$\Bbb{Z}$ con un polinomio característico$x^2 + 1$. Determine si$A$ es similar a$$\pmatrix{0 & -1 \\ 1 & 0}$ $ sobre$\Bbb{Z}$.

Estoy tan acostumbrado a trabajar con matrices sobre los campos$\Bbb{Q}$ y$\Bbb{C}$ que no estoy seguro de cómo difiere cuando cambiamos a campos que no son como$\Bbb{Z}$. Cualquier consejo sería muy apreciado.

Answer 1

El siguiente argumento es inspirada por tomasz la respuesta. Conjunto $$ B:=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad G:=\text{SL}(2,\mathbb Z),\quad H:=G/\{\pm\ I\}, $$ ($I$ siendo la matriz de identidad), y deje $\pi:G\to H$ ser la proyección canónica.

Desde $B$ $-B$ son conjugado en ${GL}(2,\mathbb Z)$, es suficiente para comprobar que $\pi(A)$ $\pi(B)$ son conjugado en $H$.

La acción de la $G$ en la mitad superior del plano- $U$ $\mathbb C$ por las transformaciones de Möbius induce un fiel acción de $H$$U$. No es difícil comprobar que un elemento finito de orden de $H$ tiene un punto fijo en $U$. Entonces, usando el Teorema VII.1 de Serre es Un Curso de Aritmética, uno ve que el orden de dos elementos de la $H$ son conjugadas, como se requiere.

EDIT. El siguiente es implícito anterior, y en tomasz la respuesta:

Dos elementos de la $\text{SL}(2,\mathbb Z)$ tener el mismo orden finito está conjugado en $\text{GL}(2,\mathbb Z)$.

Permítanme señalar que la prueba del Teorema VII.1 en Serre es Un Curso de Aritmética es corto, auto-contenida, y (si es necesario agregar?) maravillosamente escrito.

Answer 2

Aviso de que cualquiera de dichas $A$ es un elemento de orden $4$$SL_2({\bf Z})$. Pero $SL_2({\bf Z})\cong {\bf Z}_4*_{{\bf Z}_2}{\bf Z}_6$.

En una amalgama de productos, los únicos elementos finitos de orden son aquellas que se conjugado a los elementos de la amalgama de grupos, por lo que cada una de dichas $A$ es conjugado a la $1\in {\bf Z}_4$ o $3\in{\bf Z}_4$$SL_2({\bf Z})$.

$1$ corresponde a la matriz de siempre (con la habitual identificación de $SL_2({\bf Z})$ con la amalgama de productos), mientras que $3$ es su inversa. Ellos no están conjugadas en $SL_2({\bf Z})$, pero están en $GL_2({\bf Z})$$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Desde cualquier $A$ es conjugado a uno de ellos, todos los $A$ son similares.