¿Es$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ denso en$L^p(M,d\sigma)$,$1\leq p<\infty$, donde$M$ es $n-1$ de superficie regular en$\mathbb{R}^n$?

Question

Sé que, dado un conjunto abierto$\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$,$C_c^{\infty}(\Omega)$ (funciones suaves con soporte compacto) es denso en$L^p(\Omega)$,$1\leq p<\infty$.

Permita que$M$ sea una superficie regular$n-1$ regular en$\mathbb{R}^n$, y permita que$d\sigma$ sea la medida de superficie. ¿Es cierto que$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ es denso en$L^p(M,d\sigma)$,$1\leq p<\infty$? Es decir, si$\int_M |f|^p\,d\sigma<\infty$, ¿podemos encontrar$\{f_m\}\subseteq C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ tal que$\lim_m \int_M|f-f_m|^p\,d\sigma=0$?

Si no, ¿qué espacios serían densos en$L^p(M,d\sigma)$?

Answer 1

Vamos a mostrar que $C_c ^\infty (M)$ es denso en $L^p (M)$ ($1 \le p < \infty$), en dos pasos.

En primer lugar, $C_c ^\infty (M)$ es denso en $C_0 (M)$ (el espacio de las funciones que se desvanecen en el infinito) en la topología de la convergencia compacta, por una de las muchas variaciones de la Piedra-teorema de Weierstrass. Desde $C_c(M) \subseteq C_0 (M)$, se deduce que el $C_c ^\infty (M)$ es denso en $C_c (M)$.

Luego, es un resultado conocido que $C_c (M)$ es denso en $L^p (M)$ (esto es cierto al menos para $\sigma$-finito de espacios, no sólo para suavizar los colectores).

La combinación de los dos hechos se puede conseguir que la $C_c ^\infty (M)$ es denso en $L^p (M)$.