Aquí es muy precisa versión de su primera pregunta:
Puede una función trigonométrica como $\sin x$ ser definido en términos de una secuencia finita de operaciones aritméticas (decir la suma, resta, multiplicación, división y raíz de extracción) en $x$ (es decir con un número finito de constantes)?
La respuesta es no. Antes de entrar a la prueba, permítanme hacer un comentario filosófico. La concepción de la $\sin x$ como una función que toma como entrada un número real y devuelve otro número real es moderno. En la antigüedad, me imagino que la entrada a $\sin$ no era un número real, se trataba de un ángulo, y un ángulo de un objeto geométrico, no numérica: dibuja dos líneas y un ángulo es una propiedad de la forma en que se cruzan. Razones trigonométricas describir ciertas relaciones entre los ángulos y longitudes. No estoy seguro de lo que su fondo es, pero si se quiere entender la trigonometría usted debería recoger un buen libro de trigonometría.
De todos modos, la prueba. Vamos a mostrar una declaración más fuerte, a saber, que $\sin x$ no es una expresión algebraica de la función de $x$. Supongamos lo contrario, que hay distinto de cero polinomios $c_0(x), ... c_n(x)$, por ejemplo, con coeficientes complejos, de tal manera que
$$c_n(x) (\sin x)^n + c_{n-1}(x) (\sin x)^{n-1} + ... + c_0(x) = 0$$
para todos los verdaderos $x$. El lado izquierdo es un holomorphic función de $x$, de modo que por el teorema de identidad por encima de la identidad debe contener realmente para todos compleja $x$. Pero por la fórmula de Euler tenemos
$$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$
y dejando $t = ix$ ser real, vemos que como $t \to \infty$ el primer término de la anterior suma crece en valor absoluto como un polinomio veces $e^{tn}$, mientras que el resto de los términos crece en valor absoluto como un polinomio veces $e^{t(n-1)}$; en particular, el primer término eventualmente se convierte en mucho más grande que el resto de los términos en valor absoluto, de modo que no suma cero, lo cual es una contradicción. Argumentos similares de trabajo para las otras funciones trigonométricas.
En cuanto a tu segunda pregunta, la respuesta corta es que depende de qué tipo de ángulos que le interesa. Para ángulos (en radianes) son racionales múltiplos de $\pi$ puedes llegar bastante lejos en varias ocasiones la aplicación de las fórmulas de la suma de ángulos y la mitad de ángulo fórmula y así sucesivamente, aunque el problema general de informática funciones trigonométricas exactamente (en términos de números algebraicos) es algo delicado y que se entiende mejor en el contexto de la teoría de Galois y Kummer teoría.
Para los ángulos que no son racionales múltiples de $\pi$, los números resultantes son, en general, trascendental, y es muy claro para mí si hay un sentido importante en el que uno puede calcular tal cosa exactamente. En su lugar, uno calcula aproximaciones decimales, por ejemplo utilizando la serie de Taylor.
