$x$ $y$ son enteros positivos mayores de $1$, que $x^2-y^3=1$. ¿Cuáles son los posibles valores de $x$ y $y$?
Pregunta: encontrar, imputación de los valores de $x$ y $y$, $x=3$ $y=2$ es una solución.
¿Hay alguna otra solución de esta ecuación?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $x$ es incluso, escribir $y^3=x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Los dos últimos factores son impares y se diferencian por 2, por lo que son coprime. A partir de la ecuación, son dos cubos. Así que tenemos un par de cubos que se diferencian por 2, contradicción. Por lo $x$ es impar.
A continuación, escriba $x^2 = y^3+1 = (y+1)(y+w)(y+w^2)$ donde $w$ es una primitiva raíz cúbica de la unidad. Podemos emular el primer párrafo, después de algo de trabajo. Necesitamos saber que $\mathbb{Z}[w]$ es un UFD. Debemos mostrarles a $y+w^a$$y+w^b$,$a\neq b$, son relativamente primos en este anillo. A continuación, cada una de las $y+w^a$ es un cuadrado perfecto. A continuación, tomamos nota de que las plazas (y asociados) de la algebraica de los números enteros en $\mathbb{Z}[w]$ están lejos, mientras que los términos $y+1$, $y+w$, y $y+w^2$ están cerca el uno del otro. Esto elimina todos, pero un pequeño conjunto de posibilidades, que son fáciles de eliminar, dejando sólo a $(1,0)$$(3,2)$.
