interpretación intuitiva de dimensión de una variedad afín

Question

En el nivel técnico yo no entiendo ¿cuál es la dimensión de una variedad afín y la conexión de la definición con la dimensión de Krull o anillos.Sin embargo, ¿cuál es la interpretación intuitiva de la dimensión de una variedad afín? ¿Qué significa que una variedad de $\mathbb{A}^n$ tiene dimensión $s$? Qué significa que puede ser descrito por $n-s$ "independiente" de las ecuaciones? "Independiente", ¿en qué sentido? ¿Cómo es la dimensión de una variedad afín conectado a las dimensiones de su irreductible componentes? Es igual a la dimensión máxima entre todas las dimensiones de la irreductible componentes? (aquí por variedad, sólo quiero decir una expresión algebraica conjunto de $k^n$, $k$ un campo)

Answer 1

Su interpretación de "independiente" de las coordenadas es muy preciso, en efecto.

Parece razonable que la dimensión de $\mathbb A^n$$n$, porque usted ha $n$ "independiente" coordinar las funciones en el espacio afín. Si usted cree que el Noether normalización lema es una gran manera de comprender intuitivamente dimensión.

Imagen de una curva de $C\subset\mathbb A^2$. Elige una muestra aleatoria de la línea de $L\subseteq\mathbb A^2$ y considerar la proyección de $\pi: C\to L\cong \mathbb A^1$. Esta proyección será finito, es decir, las fibras de $\pi^{-1}(t)$ será finito de conjuntos. Eso es debido a que $C$ tiene dimensión uno.

Más en general, vamos a $X\subseteq\mathbb A^n$ ser una subvariedad. Noether normalización dice (cuando se traduce a un geométricas declaración de que no existe un subespacio afín $\mathbb A^s\cong L\subseteq \mathbb A^n$ y una proyección de $\pi: X\to L$ que es finito. En otras palabras, los $X$ es algo que se parece a un espacio afín de dimensión $s$, pero posiblemente doblado, torcido y doblado - sin embargo, sólo un número finito de veces! Después de todo, todos los polinomios.

Más algebraicamente hablando, el campo de función $K(X)$ $X$ es una extensión algebraica de $\Bbbk(x_1,\ldots,x_s)$ a través de los morfismos $\pi^\ast$. Así que la "coordinación de funciones" en la $X$ son algebraicos sobre el coordinar las funciones de un afín $s$-espacio. Esta es sólo otra manera de decir que el $\pi$ es finito, por el camino. En el sentido más literal, $\Bbbk(x_1,\ldots,x_s)$ $s$ elementos independientes, o más precisamente hablando: $\Bbbk(x_1,\ldots,x_s)$ tiene trascendencia grado $s$$\Bbbk$. Desde $K(X)$ es algebraico sobre $\Bbbk(x_1,\ldots,x_s)$, también tiene trascendencia grado $s$$\Bbbk$. Y, de hecho, la trascendencia grado de $K(X)$ $\Bbbk$ es la dimensión de la $X$.

Answer 2

Primero de todo, si $X$ es una irreductible variedad afín, entonces la dimensión de $X$ se define como la dimensión de Krull de $k[X]$, el afín coordinar anillo de $X$. Esto significa que $X$ es de dimensión $n$ si podemos encontrar un aumento de la secuencia del primer ideales $(0)=\frak{p}_0\subsetneq\frak{p}_1\subsetneq\cdots\subsetneq\frak{p}_n$, y ninguna otra cadena es más larga que esta.

Desde que el primer ideales corresponden a irreductible cerrado subvariedades de $X$, entonces la cadena anterior significa que hay una cadena de variedades $$\{\mbox{point}\}=X_n\subsetneq X_{n-1}\subsetneq\cdots\subsetneq X_0\subsetneq X.$$

Así que, básicamente, por definición, un punto es 0 dimensiones, una curva es algo donde el único estrictamente menor subvariedades son los puntos (cota 0), una superficie es algo que sólo tiene puntos y curvas, etc.

Para responder a tu última pregunta, si $X$ no es irreducible, entonces la dimensión significa que la dimensión máxima de todos los irreducibles de los componentes.