Este problema viene de bebé Rudin, Capítulo 1, Número 6(c).
Para el problema, dada la condición de $b > 1$, a uno se le pide mostrar que racional $r$, $$b^r = \sup B(r),$$
donde $B(x) = \left\{ b^t \mid t \in \Bbb Q,\ t \le x \right\}$.
Yo he demostrado esta propiedad. Sin embargo, el problema de la declaración concluye,
Por lo tanto, tiene sentido definir $$b^x = \sup B(x)$$ for every real $x$.
No estoy seguro de que estoy totalmente de seguir esta declaración. ¿Por qué tiene sentido para definir $b^x$ de esta manera?
Lo que he tratado de hacer hasta ahora es la siguiente:
Para $x$ racional, la instrucción es dada por el análisis anterior para $b^r$. Para $x$ irracional, definir $x$ por su Dedekind corte, y deje $A = \left\{ s \mid s \in \Bbb Q, s < x \right\}$. Entonces, para cualquier $a \in A$, $b^a = \sup B(a)$, y ya para $a' < a$, $b^{a'} \in B(a)$, a continuación, $b^a > b^{a'}$ por la definición de supremum. Si $b^x$ no es el supremum, entonces existe algún $y$ tal que $b^a \le b^y <b^x$ todos los $a$.
Si $y$ es racional, entonces por el argumento anterior, $y = a$. Pero debido a que $A$ no tiene mayor elemento, entonces hay algo de $y' > y$ que contradice que $b^y$ es un límite superior. Por lo tanto, $y$ debe ser irracional. Sin embargo, si $y<x$, luego por la densidad de los racionales, hay algunos $s' \in \Bbb Q$ tal que $y < s' < x$.
Sin embargo, todavía no he demostrado que $b^{s'} > b^y$, debido a que el actual ejercicio es definir irracional de los exponentes, por lo que no puede legítimamente hacer ese argumento.
Estoy en el camino correcto? He complicado en exceso, o me estoy perdiendo algo?
Edit: debo añadir, que esto no es la tarea.
Segunda edición: $b > 1$.
