Resolver la ecuación diferencial $y''+4y=g(t)$ utilizando la transformación de Laplace

Question

¿Cómo puedo solucionar la siguiente ecuación diferencial usando la transformación de Laplace?

$$y'' + 4y = g(t)$ $ $$Y(0)=0; Y'(0)=0$ $ donde: $$ g (t) =\begin{cases} 0; & 0 \leq t

Answer 1

Sugerencia: Puede escribir $g(t)$ utilizando la función de Heaviside $u(t-c)$. Observar que tenemos\begin{align} g(t) = \frac{t-5}{5}[u(t-5)-u(t-10)]+u(t-10) = \frac{t-5}{5}u(t-5)+\left( 1-\frac{(t-10)+5}{5}\right)u(t-10) \end {Alinee el} que significa\begin{align} (s^2+4)Y(s)=&\ \mathcal{L}{y''+4y} =\mathcal{L}{g(t)} = \frac{e^{-5s}}{5s^2}-\frac{e^{-10s}}{5s^2} \ \implies&\ \ Y(s) = \frac{e^{-5s}}{5s^2(s^2+4)}- \frac{e^{-10s}}{5s^2(s^2+4)} \end {Alinee el}

Answer 2

Como ya se mencionó, resolver estas 3 ecuaciones\begin{align}y''+4y&=0 \ y''+4y&=\frac{t-5}{5} \ y''+4y&=1 \end {Alinee el}

con la transformación de Laplace y luego unir las soluciones. $$\mathcal{L}_t{y''+4y}(s)=(s^2+4)\mathcal{L}_t{y}(s)$$ should be pretty standard, so it remains to calculate $ \mathcal{L}_t(0), ~ \mathcal{L}_t{1}, ~ \mathcal{L}_t{\frac{t-5}{5}}.$ Observe que % $ $$\mathcal{L}_t{\frac{t-5}{5}}(s)=\mathcal{L}_t{\frac{t}{5}-1}(s)=\frac{1}{5s^2}-\frac{1}{s}=\frac{1-5s}{5s^2}$

Lo que conseguimos

\begin{align} \mathcal{L}_t{y}(s)&=0 \ \mathcal{L}_t{y}(s)&=\frac{1}{s(s^2+4)} \ \mathcal{L}_t{y}(s)&=\frac{1-5s}{5s^2(s^2+4)} \end {Alinee el}

Ahora use fracción parcial descomposición y aplique lo contrario Laplace transforma. Teniendo en cuenta que

$$\mathcal{L}^{-1}_t{\frac{1}{s^2} }(t)=t, ~\mathcal{L}^{-1}_t{\frac{1}{s} }(t)=1, ~\mathcal{L}^{-1}_t{\frac{1}{s^2+4} }(t)=\frac{\sin(2t)}{2}, ~\mathcal{L}^{-1}_t{\frac{s}{s^2+4} }(t)=\cos(2t) $$

debe hacer el trabajo.