Sabemos que no hay ninguna función de $C^1$ que mapa abierto $E\subset \mathbb{R}^2$en $\mathbb{R}$. (En realidad podemos caer el requisito de $C^1$ y use continuidad). Una buena pregunta es que no hay función de $C^1$ $f$ asignación de un intervalo abierto en $\mathbb{R}$ en la bola abierta en $\mathbb{R}^2$. ¿Pero no puedo comprobarlo, alguna sugerencia?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para la primera pregunta: si $f: E \to \mathbb R$ es continuo y uno-a-uno, deje $B$ ser un open de bola con $\overline{B} \subset E$. Si $x \in \partial B$, entonces a partir de la $x$ es un punto límite de $B$ y de $E \backslash \overline{B}$, $f(x)$ debe ser en $\partial f(B)$. Pero $B$ está conectado por lo $f(B)$ está conectado (es decir, un intervalo en $\mathbb R$), y un intervalo de sólo dos puntos de límite.
Para la segunda pregunta: $C^1$ función de $f$ es localmente Lipschitz, y por lo tanto para $E \subseteq \mathbb R$ la dimensión de Hausdorff de $f(E)$ no es mayor que la dimensión de Hausdorff de $E$, y por lo tanto en la mayoría de las $1$.
EDIT: Aquí un poco menos sofisticado versión. Considere la posibilidad de una cerrada delimitada intervalo de $J$ en el que el $C^1$ función de $f$ está definido. A continuación, $|f'|$ está delimitada en $J$, dicen ser $K$, y para cualquier $x,y \in J$ tenemos $|f(x) - f(y)| \le K |x - y|$. Deje $J$ tienen la longitud $L$. Para cualquier entero positivo $n$, se puede dividir $J$ a $n$ subintervalos $J_j$ de la longitud de la $L/n$, y las imágenes de estos en $f$ $n$ juegos de diámetro en la mayoría de las $KL/n$. Pero para cualquier $r > 0$ y un entero positivo $m$, un cuadrado de lado a $r$ ${\mathbb R}^2$ contiene $m^2$ puntos (formando una cuadrícula regular) cuya distancia uno de otro es, al menos, $r/m$. Si $n$ es lo suficientemente grande, podemos tomar $m$ $KL/n < r/m$ pero $m^2 > n$, y por lo tanto $f(J)$ no puede contener ningún cuadrado. Por lo tanto, $f(J)$ no pueden contener cualquier conjunto abierto no vacío.
Para completar la prueba, puede utilizar la Categoría de Baire Teorema: si $I$ es un intervalo abierto, $f(I)$ es la unión de countably muchos $f(J)$ a puerta cerrada delimitada intervalos de $J$, pero
$f(J)$ es cerrado y denso en ninguna parte, por lo que la unión de estos no pueden contener cualquier conjunto abierto no vacío.
