Prueba de que$n!+n!<(n-k)!+(n+k)!$

Question

Así que tengo una pregunta que me he atascado un par de días:

La prueba de que $n!+n!<(n-k)!+(n+k)!$ todos los $n,k\in\mathbb{N}$$k\leq n$.

Mi intento: llevamos a cabo la inducción en $n$.

Caso Base: $n=1$ El único caso es al $k=1$. Tenemos $n!+n!=2$$(n-k)!+(n+k)!=3$.

Supongamos que es cierto para algunos $n$. A continuación, $2n!<(n-k)!+(n+k)!$ todos los $k$. Tenemos $2(n+1)!=n(2n!)<n(n-k)!+n(n+k)!$.

Pero luego no sé qué hacer. Ni siquiera sé si la inducción es un enfoque correcto. Por favor alguien puede ayudar? Muchas gracias.

Answer 1

En su lugar, considere$$ n! + n! = 2 \cdot n!$ $ mientras$$ (n-k)! + (n+k)! > (n+k)! > (n+1)! = n! (n+1).$ $ La primera desigualdad es verdadera siempre que$n \geq k$ (de modo que ambos factores estén definidos). La segunda desigualdad es verdadera siempre que$k \geq 1$ (si$k = 0$, entonces ambos lados en el problema original son claramente iguales).

Entonces, como$2 \cdot n! \leq (n+1) \cdot n!$ para$n \geq 1$, tenemos$$ n! + n! \leq (n+1) n! < (n+k)! < (n-k)! + (n+k)!$ $

Answer 2

si$k$ aumenta en 1, entonces RHS cambia por

ps

que es positivo para$$-(n-k-1)(n-k-1)!+(n+k)(n+k)!$. Por lo tanto, si el reclamo es verdadero para$k\ge{}0$, entonces es verdadero para$k$.

Entonces solo necesitamos probar el reclamo de$k+1$ que es fácil:

ps

Multiplique por$k=1$ y obtendrá el resultado.