¿No hay término de difusión en la conservación de la masa en las ecuaciones de Navier-Stokes?

Question

He seguido las derivaciones del Ecuaciones de Navier-Stokes y puedo ver cómo surgen los distintos términos en la "ecuación principal", la ecuación de conservación del momento.

Sin embargo no entiendo por qué la ecuación de conservación de la masa no tiene término de difusión. Hay un término de tipo difusión en la ecuación de conservación del momento, así que ¿por qué no tenemos uno en la ecuación de conservación de la masa?

Answer 1

Para un solo componente líquido, la conservación de la masa de la siguiente manera $$ \left(\begin{array}{c}\text{mass of fluid } \\ \text{in volume }\Delta V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{flux of fluid } \\ \text{in/out of volume }\Delta V\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{sources or} \\ \text{sinks in }\Delta V\end{array}\right) $$ En términos de un cubo de volumen $\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z$, esto es \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\rho\Delta V&=\rho v_x\Delta y\Delta z\vert_{x}-\rho v_x\Delta y\Delta z\vert_{x+\Delta x} \\ &+\rho v_y\Delta x\Delta z\vert_{y}-\rho v_y\Delta x\Delta z\vert_{y+\Delta y} \\ &+\rho v_z\Delta x\Delta y\vert_{z}-\rho v_z\Delta x\Delta y\vert_{z+\Delta z} \\ &+r\Delta V \end{align} El flujo de aquí es definido como:$\rho v_i$: la masa que fluye hacia el exterior, $\rho$, debe flujo de salida en la velocidad del fluido en el volumen de la célula, $v_i$. Si microscópico de difusión se llevará a cabo, no seríamos capaces de decir, porque las masas moleculares son idénticos, así que no sería capaz de decirle estado 1 en estado 2.

A continuación, dividiendo ambos lados por $\Delta V$ y tomando el límite de $\Delta x\to0$, nos encontramos con la PDE $$ \frac{\partial \rho}{\partial t}=-\frac{\partial\rho v_x}{\partial x}-\frac{\partial\rho v_y}{\partial y}-\frac{\partial\rho v_z}{\partial z}+r $$ lo que se reduce a la comúnmente visto ecuación de continuidad $$ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\rho\mathbf{v}=0 $$ sin fuentes/sumideros ($r=0$).

Sin embargo, se puede tener un componente de difusión de la ecuación de continuidad si estamos considerando diferentes especies químicas que pueden interactuar. Para un volumen arbitrario de algunas especies químicas $i$, el balance de masas es $$ \left(\begin{array}{c}\text{mass of species }i \\ \text{in volume }\Delta V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{flux of species }i \\ \text{in/out of volume }\Delta V\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{mass produced} \\ \text{by reactions}\end{array}\right) $$ lo que es realmente, $$ \frac{\partial c_i}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{n}=r\etiqueta{1} $$ donde $\mathbf{n}$ es el flujo de especies $c_i$, e $r$ el término fuente. Este es, por supuesto, de nuestra común de la ecuación de continuidad con un término de origen. En el caso de la multi-componente líquido de aquí, la difusión de las partículas cambiar los estados, por lo que el estado inicial es no equivalente a la del estado final.

Para flujos estacionarios, el flujo de transferencia de masa es $$ \mathbf{n}=-D\nabla c_i $$ para darnos la ley de Fick. Para un movimiento de flujo, sin embargo, el flujo tiene una difusión y convección/advección de componentes, $$ \mathbf{n}=-D\nabla c_i+c_i\mathbf{v} $$ lo cual permitiría que (1) se $$ \frac{\partial c_i}{\partial t}+\nabla \cdot c_i\mathbf{v}=\nabla\cdot\left(D\nabla c_i\right)+r\etiqueta{2} $$ que es una de convección-difusión de la ecuación.

Con el impulso de la ecuación, sin embargo, se tienen algunos de los términos adicionales que están asociados con el cambio de la forma del volumen de control,$\Delta V$: $$ \frac{\partial}{\partial t}\iiint_V\rho \mathbf u\,dV=-\oint_S\left(\rho \mathbf u\,d\mathbf S\right)\mathbf u-\oint_S p\,d\mathbf S+\iiint_V\rho\mathbf f_{cuerpo}\,dV+\mathbf F_{surf} $$ es decir, el cuerpo de fuerzas, $\mathbf{f}_{body}$, y las fuerzas de superficie, $\mathbf{F}_{surf}$. Es la superficie de la fuerza que genera la difusión plazo, ya que está relacionado con el tensor de tensiones que proporciona la $\nu\nabla^2\mathbf{v}$ término en la ecuación de Navier-Stokes.

Answer 2

Dejé esto como comentario pero lo amplío aquí ya que aporta otro punto de vista. Imagina que tienes una caja con moléculas de gas rebotando en su interior. Cada molécula es idéntica por lo que tienen la misma masa, temperatura y presión. Digamos también que esta caja tiene un diafragma en el centro que separa la caja en dos.

Ahora retiras el diafragma y empiezas a buscar cambios en el gas de la caja. Pero no ves que ocurra nada porque por cada molécula que empezó a la izquierda del divisor que se mueve a la derecha del divisor, una molécula de la derecha se mueve a la izquierda. Pero tienen exactamente las mismas masas, presiones y temperaturas, así que no hay ningún cambio en el estado real de la caja.

Ahora imagina que tienes la misma caja, partida por la mitad, pero esta vez pones una molécula ligera a la izquierda y una pesada a la derecha, de nuevo todas con la misma presión y temperatura. Ahora, cuando quites el diafragma, cuando una molécula pesada se mueva hacia el lado de la molécula ligera, varias moléculas ligeras se moverán hacia el lado de la pesada. Y si observas esto a lo largo del tiempo, la interfaz afilada se difuminará a medida que estas moléculas reboten entre sí y se mezclen. Finalmente, se volverá homogénea y no verás más cambios en el sistema.

Ahora imagina que tuviéramos la misma caja, el mismo divisor, con moléculas idénticas a izquierda y derecha pero ahora la temperatura de la izquierda fuera mayor que la de la derecha. Cuando se retira el separador y una molécula de alta temperatura se desplaza a un lado y otra de baja temperatura ocupa su lugar, veríamos que la temperatura del sistema se difunde y se mezcla hasta homogeneizarse. Puedes hacer el mismo argumento sobre el momento para obtener el término de difusión viscosa.

Todo esto viene a decir que las ecuaciones describen las mismas cosas, pero la difusión de masa idéntica da un sistema indistinguible del estado anterior. Simplemente no hay diferencias observables, por lo que no hay término de difusión en la ecuación de masa. A menos que tengas múltiples especies (moléculas diferentes), en cuyo caso esas ecuaciones parciales de masa sí tienen un término de difusión.

Answer 3

Así que en realidad es una razón muy simple, pero vas a tener que pensar un poco sobre lo que está pasando.

La ecuación del transporte establece que todo lo que es una "cosa" puede considerarse de esta manera: "Una pequeña caja fluye corriente abajo; la tasa de cambio temporal de la materia dentro de la caja es igual al flujo de materia a través de la frontera de la caja, más cualquier materia que se inserte en la caja a través de algún otro mecanismo". Por supuesto, la propia masa del fluido es una materia, su momento en la dirección x es una materia, su temperatura es una materia en forma de energía térmica, etc. Prácticamente todo lo que se conserva puede considerarse una "materia".

Tomándolo por partes, la materia se describe por alguna concentración o densidad $c$ ; la corriente por algún campo de velocidad $\vec v(\vec r, t)$ . La parte que dice "una caja fluye aguas abajo, la tasa de cambio de tiempo de las cosas dentro de la caja" nos inicia con: $$\frac{\partial c}{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla) ~ c = \dots~~~.$$ (Si nunca has visto esto antes: la caja a la vez $t + dt$ estar en $\vec r + \vec v~dt;$ Taylor-expand $c(\vec r + \vec v ~dt, t + dt) - c(\vec r, t)$ para encontrar esa "derivada convectiva").

El flujo de $c$ se describe entonces mediante una densidad de corriente $\vec j$ pero esto sólo acumula en la caja con su divergencia negativa . Por último, el "otro mecanismo" se deja como un término cualquiera. $q$ que se rellenará más tarde, por lo que $$\frac{\partial c}{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla) ~ c = -\nabla \cdot \vec j + q~.$$ Un formulario típico para $\vec j$ afirma que $$\vec j = c ~\vec v - D ~\nabla c ~.$$ Esto significa que la "materia" fluye principalmente corriente abajo, pero también tiene algún efecto donde no fluye corriente abajo: fluye de una concentración alta a una concentración más baja mediante un flujo "localmente lineal" (ley de Fick, lineal en el sentido de que dos veces la diferencia de concentración localmente = dos veces el flujo). Introduciendo esta forma se obtiene la forma común: $$\frac{\partial c}{\partial t} + \nabla \cdot (c ~\vec v) = D \nabla^2 c ~+~ (\nabla D) \cdot (\nabla c) ~+~ q~.$$

Así que ahora salta de nuevo a esa expresión para $\vec j$ : ¿puedes ver por qué $D = 0$ ¿es la única opción adecuada cuando hablamos de la masa del propio fluido?

Sí: es porque toda la información que necesitamos ya está en $\vec v$ . El flujo de la masa del propio fluido es simplemente $\rho ~\vec v$ y punto, nada más.

Dicho de otro modo, Si la masa de fluido fluyera en cualquier otra dirección, entonces $\vec v$ sería diferente para compensar. El hecho, por ejemplo, de que el fluido pueda ser compresible es ya está ahí en la ecuación, oculto en el $\nabla \cdot (\rho ~ \vec v)$ término. Lo único que no hay si el fluido está entrando en la corriente desde el mundo exterior, pero que está enterrado en $q$ . No hay posibilidad de que la masa fluida se autointeractúe fuera de este mecanismo sin que definamos un diferente conjunto de partículas como el "fluido" propiamente dicho y siguiendo que fluido como nuestro $\vec v$ en cuyo caso esos partículas $\rho$ se produce el mismo fenómeno.

Answer 4

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el fluido de forma aproximada, sin tener en cuenta la difusión de las moléculas. En el caso ordinario, se supone que el campo de velocidades es suave.

"Difusión del momento" mencionada en relación con el término proporcional a $\Delta \mathbf u$ no es realmente una difusión en el sentido molecular. Es más bien una especie de metáfora para describir la transferencia de momento debida a las fuerzas viscosas del fluido. No se describe ninguna difusión real a este nivel macroscópico. En las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes, todo el movimiento de la materia es puramente convectivo, dado por un campo de velocidad suave. Es sólo que las fuerzas viscosas (que tienen conexión con la difusión real, pero no en este nivel de la teoría) conducen a la evolución de la distribución del momento que recuerda a la difusión ordinaria.

Answer 5

Ya se ha mencionado el punto básico, pero me gustaría dar mi versión de la respuesta y señalar una sutileza. Las ecuaciones básicas de la dinámica de fluidos son la conservación de la masa, el momento y la energía $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} - \vec{\nabla}\cdot\vec{\jmath}_\rho \\ \frac{\partial \pi_i}{\partial t} = - \nabla_j\Pi_{ij}, \\ \frac{\partial {\cal E}}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot\vec{\jmath}^{\;\epsilon} . $$ La teoría de Navier-Stokes corresponde a la consideración de los términos difusivos en el tensor de tensiones $\Pi_{ij}$ . Estos términos están relacionados con la viscosidad aparente y la viscosidad de cizallamiento, $\delta\Pi_{ij}=-\eta\sigma_{ij}-\zeta\delta_{ij}\langle \sigma\rangle$ con $$ \sigma_{ij} = \nabla_i u_j +\nabla_j u_i -\frac{2}{3}\delta_{ij} \langle\sigma\rangle \, , \;\;\; \langle\sigma\rangle =\vec{\nabla}\cdot\vec{u}\, . $$ Los términos difusivos también aparecen en la corriente de energía $\vec{\jmath}^{\;\epsilon}$ . Además de la viscosidad, la corriente de energía contiene la conductividad térmica. $\delta\jmath_i^{\;\epsilon}=u_j\delta\Pi_{ij}-\kappa\nabla_i T$ .

¿Por qué no hay términos difusivos en la corriente de masa $\jmath_\rho$ ? La respuesta correcta es $\vec{\jmath}_\rho=\rho\vec{u}$ se utiliza para definir la velocidad del fluido. Otras definiciones son posibles. En el dominio relativista frecuentemente definimos la velocidad del fluido usando la corriente de energía (esto se llama el marco de Landau), y entonces los términos difusivos aparecen en la corriente de masa.

La sutileza: En dinámica de fluidos también utilizamos que la densidad de momento es $\vec{\pi}=\rho\vec{u}$ . Dado que utilizamos $\vec{\jmath}_\rho$ para definir $\vec{u}$ no es obvio por qué esta relación no se ve modificada por términos difusivos.

La respuesta es, por supuesto, que $\vec{\pi}=\vec{\jmath}_\rho$ está relacionada con una simetría. Multiplicar la conservación de la masa por $\vec{r}$ e integrar sobre el espacio (este argumento se debe a Landau). Se obtiene $$ \frac{\partial}{\partial t}\int d^3r\, \vec{r}\rho + \int d^3r\, \vec{\jmath}_\rho =0. $$ Como el primer término es el centro de masa, el segundo debe ser el momento total. El centro de masa es uno de los generadores del grupo de Schroedinger, por lo que la simetría es la simetría de Schroedinger. Una versión moderna de este argumento fue dada por Jensen ( http://arxiv.org/abs/1411.7024 ). $\vec{\pi}=\vec{\jmath}_\rho$ es una identidad de Ward que puede derivarse utilizando la geometría de Newton-Cartan.