Canónicamente isomórficos pero no iguales

Question

En matemáticas, tenemos muchos objetos que son canónicamente isomorfos pero no son iguales en la nariz.

Por ejemplo, dejemos $V$ y $W$ sean espacios vectoriales. Entonces $V\otimes W$ y $W\otimes V$ son canónicamente isomorfas pero no iguales. Pero normalmente no nos importa y los tratamos como iguales.

Me pregunto si hay alguna situación en la que esta sutileza sea muy importante.

Gracias.

Answer 1

A veces, dos objetos son iguales pero canónicamente isomorfos a través de un isomorfismo no trivial. Por ejemplo, uno podría tener la tentación de sustituir una categoría por su esqueleto, de modo que todo isomorfismo sea un automorfismo - ¡pero esto no obliga necesariamente a que los isomorfismos "canónicos" sean la identidad! Véanse las observaciones finales en [ Categorías para el matemático en activo , cap. VII, § 1]:

Uno podría estar tentado de evitar todo este alboroto con $\alpha$ , $\lambda$ y $\rho$ simplemente identificando todos los objetos isomórficos en $B$ . Esto no servirá, por el siguiente argumento debido a Isbell. Sea $\textbf{Set}_0$ sea el esqueleto de la categoría de conjuntos; tiene un producto $X \times Y$ con proyecciones $p_1$ y $p_2$ como siempre. Si $D$ es un (el) conjunto denumerable, entonces $D = D \times D$ y las dos proyecciones de este producto son epis $p_1, p_2 : D \to D$ . Supongamos ahora que el isomorfismo $\alpha : X \times (Y \times Z) \to (X \times Y) \times Z$ definida como es habitual para conmutar con las tres proyecciones, era siempre la identidad; es entonces la identidad para $X = Y = Z = D$ ya que $\alpha$ es natural, $f \times (g \times h) = (f \times g) \times h$ para cualquier tres $f, g, h : D \to D$ . Pero $\times$ sobre funciones se define en términos de las proyecciones $p_1$ y $p_2$ arriba, así que $$f p_1 = p_1 (f \times (g \times h)) = p_1 ((f \times g) \times h) = (f \times g) p_1$$ y $p_1$ es epi, por lo que $f = f \times g$ . El argumento correspondiente con $p_2$ da $f \times g = g$ Por lo tanto $f = g$ para cualquier $f, g : d \to D$ un absurdo. Un argumento similar se aplica al esqueleto de $\langle \textbf{Ab}, \otimes, \cdots \rangle$ .