Su casi metrizable espacios se denominan espacios de punto-contable tipo (que es como yo los conocía); se introdujeron por Arhangel'skij, ver las dos primeras referencias en este documento, donde se menciona que son $k$-espacios, como se demostró en la segunda referencia.
También creo que se $q$espacios: sólo tiene que utilizar la base local de $U_n$ para el conjunto compacto $K$ que contiene $x$; la disminución de WLOG. Si tomamos $x_n \in U_n$, creo que nos debemos un clúster punto en $K$ por la compacidad. Por CIERTO este papel en el corolario 0.2 afirma que esto está demostrado en un Quíntuple Cociente de la Búsqueda por E. Michael (al que no tengo acceso).
Agregado de comentarios Para que la respuesta más autónomo, voy a añadir la prueba de como rellenar por Alex Ravsky en los comentarios. Mi idea desde arriba es correcta: supongamos que no hay punto de $K$ es un clúster punto de $\{x_n: n \in \omega\}$, entonces cada punto de $x \in K$ ha abierto un barrio de $O_x$ que sólo contiene a lo más un número finito de $x_n$. La cubierta está abierta $\{O_x: x \in K\}$ tiene un número finito de subcover con el sindicato de la $O$. A continuación, $O$ es un barrio de $K$ que sólo contiene un número finito de $x_n$, así que de algún índice de $N$ en adelante, no$x_n$$n \ge N$$O$. Pero ahora tenemos una contradicción, como para algunos de los $k > N$ tendremos que $U_k \subset O$ (como tenemos una disminución en el barrio de base para$K$$U_n$) y, a continuación,$x_k \in U_k \subset O$, que no puede ser.
El Quíntuple Cociente de Búsqueda también muestra indirectamente que un espacio de pointwise contables tipo (como una imagen de un paracompact $M$-espacio) es una $k$-espacio (como un cociente de la imagen de un paracompact $M$-espacio). Pero como se dijo, este ya era conocido para Arhangel'skij.
