Diferentes versiones de Riesz Teoremas

Question

En la Wikipedia, hay tres versiones de Riesz teoremas:

1 El espacio de Hilbert teorema de representación de la (continua) el espacio dual de un espacio de Hilbert;

2 El teorema de representación de lineal positiva funcionales en $C_c(X)$ donde $X$ es localmente compacto Hausdorff espacio;

3 El teorema de representación para el dual de $C_0(X)$ donde $X$ es localmente compacto Hausdorff espacio.

Me preguntaba

1. si ninguna de las tres versiones es más general que el de los demás, en el sentido de que nadie puede ser derivada de otra?
2. cuando dos o tres de ellos puede coincidir?

Gracias y saludos!

Answer 1

Estos son los tres diferentes teoremas y no hay ninguna relación entre el 1) y el de los demás, excepto en el caso de al $X$ es finito, donde los tres teoremas de coincidir (desde $\ell^2(X)$, $C_0(X)$ y $C_c(X)$, entonces son el mismo espacio vectorial topológico). Nota sin embargo que $C_0(X)$ $C_c(X)$ son nunca de Hilbert espacios (a menos que el local espacio compacto $X$ está vacía o un punto), 2) y 3) no puede tener una relación directa con el 1).

Desde la positividad implica continuidad 2) puede ser interpretado como una caracterización lineal continua y funcionales en $C_c{(X)}$ como bueno, y hablaré en esta versión a continuación.

Los resultados 2) y 3) están estrechamente relacionados y, a menudo, 3) se ha demostrado como un corolario de 2).

Tenga en cuenta que el espacio de $C_c(X)$ es denso en $C_{0}(X)$ con respecto a la sup-norma. Así, un continuo lineal funcional en $C_c(X)$ (= una firma de medida de Radón) se extiende (exclusivamente) a un continuo lineal funcional $C_{0}(X)$ (= firmado delimitada Radón medida) si y sólo si es de variación acotada. Por otra parte, 2) y 3) coinciden si $X$ es compacto (y también hay pruebas de 3) la reducción de la ese caso).