Parece bastante común para describir a $\mathrm{d}x$ en no estándar del análisis infinitesimal. Pero después de pensarlo (y, a continuación, rozando Keisler del texto), no puedo ver el punto y, de hecho creo que es engañoso!
En primer lugar, permítanme señalar claramente que $\mathrm{d}y$ es no se utiliza aquí como para expresar una "diferencia en $y$"; este post es la siguiente convención que $\Delta y$ se utiliza para este tipo de cosas, y $\mathrm{d}y$ está reservado para el diferencial.
Es decir, supongamos $y = x^2$. Un "cambio en $y$" es la cantidad de $\Delta y$ dada por, después de la fijación de algunas de cambio$\Delta x$$x$: $$ \Delta y = (x + \Delta x)^2 - x^2 = 2 x (\Delta x) + (\Delta x)^2 $$
Esto no es lo $\mathrm{d}y$ es. Simplemente tenemos $\mathrm{d}y = 2x \mathrm{d} x$. En general, si $y = f(x)$, $\mathrm{d} y $ es simplemente define a ser $f'(x) \mathrm{d} x$. No hay diferencias, infinitesimal aproximaciones, o cualquier cosa de ese sabor que está pasando aquí; $\mathrm{d} y$ no es nada más que un recipiente para llevar alrededor de una copia de $f'(x)$.
(e $\mathrm{d} x$ fue simplemente para ser independiente, infinitesimal variable)
Una aplicación típica de un diferencial es que en una integral definida,$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$, podríamos decidir que escribir una suma de Riemann con $H$ espaciados uniformemente particiones para algunos infinito $H$, y sustituir en la notación $\mathrm{d}x$ con el ancho de un intervalo de $\frac{b-a}{H}$ para obtener $$ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx \sum_{i=1}^H f\left(a + \frac{b-a}{H}i \right) \frac{b-a}{H} $$ Sin embargo, si yo codificar $\mathrm{d}x$ como un infinitesimal, a continuación, escriba $\int_a^b f(x) \epsilon$, no hay manera de averiguar lo que significa. Se podría escribir $H = (b-a)/\epsilon$ y anote la suma de Riemann por encima, sino que da la respuesta equivocada si me codificados $\mathrm{d}x$$2 \epsilon$. Lo mejor que puedes hacer es deshacer la codificación; por ejemplo, $$ \int_a^b f(x) \epsilon \approx \sum_{i=1}^H f\left(a + \frac{b-a}{H}i \right) \frac{\epsilon}{\mathrm{d}x} \frac{b-a}{H} $$
Por lo tanto, la codificación de la diferencial de la forma como un infinitesimal no parece hacer nada útil para esta aplicación de diferenciales. Pero tal vez podamos hacer otras interesantes aritméticas con ellos. Sin embargo, no creo que haya ninguna aplicación de cantidades como $(\mathrm{d}y)^2$ o $1 + \mathrm{d}y$ o $\sin(\mathrm{d}y)$ — las cantidades como $(\Delta y)^2$ o $1 + \Delta y$ o $\sin(\Delta y)$ que ponemos en juego.
En su lugar, la única utilidad de operaciones parecen ser los diferenciales ordinarias formulario de operaciones — cosas como la adición de dos formas diferenciales o multiplicación de una forma diferenciada por una función.
En suma, la única aplicación de esta definición parece ser que permite decir que el $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ es la proporción de dos hyperreal valores de las variables — pero incluso en ordinario análisis podemos entender que como una relación de formas diferenciales!
Por otra parte, la insistencia de que la $\mathrm{d}x$ ser infinitesimal parece ser completamente irrelevante; usted podría hacer lo mismo en el análisis estándar simplemente mediante la eliminación de la restricción de que $\mathrm{d}x$ ser infinitesimal. De hecho, en cierta medida, a la gente qué hacer la misma cosa; por ejemplo, la definición de la diferencial de una función de $f$ a ser la función de $\mathrm{d}f(x,e) = f'(x) e$.
Así, planteo mi pregunta — ¿cuál es el punto de $\mathrm{d}x$ un infinitesimal hyperreal?
