Representaciones fieles y tablas de caracteres

Question

Supongamos que una representación compleja irreducible de n dimensiones no es fiel. Entonces un elemento no identitario se mapea a la matriz identidad en $GL_n(\mathbb{C})$ para que el valor de su carácter asociado en la clase de conjugación de este elemento sea $n$ . Así, $n$ aparece al menos dos veces en la fila correspondiente de la tabla de caracteres del grupo.

Sospecho que lo contrario es cierto: si la fila correspondiente a un irreducible $n$ -La representación compleja de una dimensión contiene la dimensión de la representación en más de una columna, entonces la representación no es fiel. He buscado en algunas de las referencias de álgebra estándar y no he podido encontrar una prueba. ¿Puede alguien indicarme la dirección correcta? Lo hemos demostrado para $n=2$ pero parece que sería difícil y complicado generalizarlo. Me pregunto si existe una prueba más sencilla.

Answer 1

Si $\chi$ es el carácter, y $\chi(g)=\chi(1)=n$ para algún elemento del grupo $g$ entonces $\rho(g)$ es un $n\times n$ matriz $A$ cuyos valores propios son todos números complejos de módulo 1 y cuya traza es $n$ (aquí $\rho$ es la representación cuyo carácter es $\chi$ ). Además, algunos poderes de $A$ es la identidad. ¿Puedes ver cómo esto obliga $A$ para ser la matriz de identidad?

Answer 2

Lo que dices es cierto y es De hecho, se encuentra en todas las referencias estándar (por ejemplo, Isaacs). La idea es que cualquier carácter de un $n$ -representación dimensional, evaluada en un elemento de orden $d$ es una suma de $n$ $d$ -raíces de la unidad (¿por qué?). Tu afirmación se deduce ahora fácilmente por la desigualdad del triángulo: $|\chi(g)|\leq \chi(1)$ para todos $g$ y $\chi(g)=\chi(1)$ si $g$ se envía a la matriz de identidad.