¿Cómo mostrar la densidad de 2^a 3^b?

Question

Parece un problema de tarea interesante, pero en realidad surgió mientras preparaba una conferencia para una clase de Música; quiero mostrar que si intentas construir un conjunto de notas en el que puedas subir y bajar octavas y quintas justas desde cualquier nota (es decir, el conjunto de notas está cerrado bajo multiplicación y división por 2 y 3, esencialmente), terminas con un número infinito de teclas en tu piano.

Pensando en esto, parece "obvio" que este conjunto, también descriptible como los racionales de la forma $2^a 3^b$ donde $a$ y $b$ pueden ser positivos, negativos o cero, es denso en los números reales. Sin embargo, demostrarlo me está volviendo loco. Siento que esto debería ser fácil.

Lo mejor que se me ocurre es pensar en la multiplicación y división por 3 como la suma y resta en el ámbito de los logaritmos, y luego argumentar que si hubiera un vecindario de un punto que no contuviera ningún otro punto en el conjunto, entonces tendría que haber un mayor común divisor distinto de cero de $\log2$ y $\log3$, pero que eso no puede existir, porque entonces sería el caso de que $\exists$ (no nulo) $y,z . 2^y = 3^z$, lo cual es imposible.

¿Hay una forma más simple de demostrar esto?

Answer 1

Como señaló Andre, $\alpha = \frac{\log 3}{ \log 2}$ es irracional. Es un teorema, buscando referencia, que $m + n \alpha$ es denso en los números reales. Multiplicando por $\log 2,$ encontramos que $m \log 2 + n \log 3$ es denso en los números reales, donde $m,n$ son enteros. por lo tanto $e^{m \log 2 + n \log 3} = 2^m 3^n$ es denso en los números reales positivos.

De acuerdo, Capítulo 3 en Aproximaciones Diofánticas de Ivan Niven.

En este sitio, [Para $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, el conjunto $\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ es denso en $[0,1)$](https://math.stackexchange.com/questions/843763/a-dense-set-on-0-1) entre muchos otros