Lema. Dejemos que $G$ sea un grupo, escrito multiplicativamente, y sea $H$ y $K$ sean dos subgrupos. Si $HK = \{hk\mid h\in H, k\in K\}$ entonces $$|HK||H\cap K| = |H||K|$$ en el sentido de las cardinalidades.
Prueba. Considere el mapa $H\times K\to HK$ dado por $(h,k)\mapsto hk$ . Afirmo que el mapa es exactamente $|H\cap K|$ a $1$ . De hecho, si $hk=h'k'$ entonces $h'^{-1}h = k'k^{-1}\in H\cap K$ por lo que existe $u\in H\cap K$ , a saber $u=h'^{-1}h$ tal que $h=h'u$ y $k=u^{-1}k'$ . Así, $(h,k) = (h'u,u^{-1}k')$ se corresponde con lo mismo que $(h',k')$ . A la inversa, dado $v\in H\cap K$ tenemos que $(h'v,v^{-1}k')\in H\times K$ se corresponde con lo mismo que $(h',k')$ .
Así, cada elemento de $HK$ corresponde precisamente a $|H\cap K|$ elementos de $H\times K$ . Así, $|HK||H\cap K| = |H\times K| = |H||K|$ como se ha reclamado. $\Box$
Dejemos que $a$ y $b$ sean números enteros, y consideremos $\mathbb{Z}/\langle ab\rangle$ . Se trata de un grupo con $|ab|$ elementos. Este grupo contiene subgrupos generados por $\gcd(a,b)$ , por $a$ , por $b$ y por $\mathrm{lcm}(a,b)$ . $\gcd(a,b)$ genera el mayor subgrupo que contiene tanto $a$ y $b$ ; es decir, $\langle \gcd(a,b)\rangle = \langle a\rangle + \langle b\rangle$ ; mientras $\mathrm{lcm}(a,b)$ genera el subgrupo más pequeño contenido en ambos $\langle a\rangle$ y $\langle b\rangle$ es decir, $\langle \mathrm{lcm}(a,b)\rangle = \langle a\rangle\cap\langle b\rangle$ . Por el lema (con adición, ya que estamos trabajando en un grupo aditivo), tenemos: $$|\langle a\rangle+\langle b\rangle| |\langle a\rangle\cap\langle b\rangle| = |\langle a\rangle||\langle b\rangle|$$ Ahora, el subgrupo generado por $\gcd(a,b)$ tiene $\frac{|ab|}{\gcd(a,b)}$ elementos; el subgrupo generado por $\mathrm{lcm}(a,b)$ tiene $\frac{|ab|}{\mathrm{lcm}(a,b)}$ elementos; la generada por $a$ tiene $\frac{|ab|}{|a|}$ elementos, la generada por $b$ tiene $\frac{|ab|}{|b|}$ elementos. Con todo esto se convierte en $$\gcd(a,b)\mathrm{lcm}(a,b) = |a||b|$$ que produce la igualdad deseada. $\Box$
