Hyperbolic Trig Inequality

Question

Se le ocurrió la siguiente desigualdad de trig hiperbólica . $$0 \leq y \leq x \leq 2 \implies \sinh(x)-\sinh(y) \leq \sinh(x-y)\cdot e^{xy/2}.$$

Pasé muchas horas tratando de probarlo. Elaboran los primeros pocos términos de la serie de Taylor, pero no pude obtener una prueba general. Pasa los controles de cordura habitual ($y=0$, $y=x$, $x=2$) y yo también lo numéricamente por trazado y comprobación de valores %#% de #% aleatorio $10^9$ y $x$.

¿Alguna idea?

Answer 1

Completar Brevan Ellefsen's solución.

En primer lugar, desde $\sinh x - \sinh y = 2 \sinh \frac{x-y}{2} \cosh \frac{x+y}{2}$, y $\sinh (x-y) = 2 \sinh \frac{x-y}{2} \cosh \frac{x-y}{2}$, tenemos $$ r\equiv\frac{\sinh x - \sinh y}{\sinh (x-y)} = \frac{\cosh \frac{x+y}{2} } {\cosh \frac{x-y}{2}} = \frac{1 + \tanh\frac x 2 \tanh \frac y 2 } { 1 - \tanh\frac x 2 \tanh\frac y 2}. $$ Para $0 \le \dfrac{x}{2}, \dfrac{y}{2} \le 1$, tenemos $$ 0 \le \tanh\frac{x}{2} \cdot \tanh\frac{y}{2} \le \frac{x}{2} \cdot \tanh\frac{y}{2} \le \tanh\left(\frac{x}{2} \cdot \frac{y}{2}\right) \le 1. $$ Desde $\dfrac{1+t}{1-t}$ es una función creciente de $t$$t \in (0, 1)$, obtenemos $$ r \le \frac{1 + \tanh\frac{xy}{4}}{1-\tanh\frac{xy}{4}} =\exp\frac{xy}{2}. $$ Esto completa la prueba.