¿Expansión de series infinitas para 3/7?

Question

¿Cuáles son algunas expansiones de series infinitas para $3/7$ (y en general, para las fracciones con dígitos en base 10)? No se me ocurre nada útil. Por favor, generaliza alguna expresión de serie útil para todos esos tipos de fracción.

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

También se puede intentar lo mundano

$$\frac{3}{7} = \frac{1}{{2 + \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}\frac{1}{{1 + \frac{1}{6}}} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{{{6^2}}} - \frac{1}{{{6^3}}} + - \cdots } \right)$$

Answer 2

Considere cualquier serie convergente. Digamos que $$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots = a$$ donde $a_n, a \in \mathbb{R}$ y $a \neq 0$ (Gracias, @anon).

Definir $b_n = \dfrac37\dfrac{a_n}{a}$ , entonces la serie $b_1 + b_2 + b_3 + \cdots$ converge a $\dfrac37$ .

Answer 3

Encuentre el más pequeño $n$ tal que $7|(10^n-1)$ . En particular, digamos que $10^n-1=7m$ . A continuación, escriba

$$\begin{array}{c l} \frac{3}{7} & =\frac{3m}{7m} \\[2pt] & =\frac{3m}{10^n-1} \\[2pt] & = 3m\frac{1}{10^n}\frac{1}{1-1/10^n} \\[2pt] & =\frac{3m}{10^n}+\frac{3m}{10^{2n}}+\frac{3m}{10^{3m}}+\cdots. \end{array}$$

Desde $3m<7m+1=10^n$ Esto permite escribir fácilmente la expansión decimal repetida de la fracción $3/7$ . En particular, $10^6-1=7\cdot142857$ y $3\cdot142857=428571$ así que $3/7=0.\overline{428571}$ .

Esto puede emplearse de forma más general. Sin mucha pérdida de generalidad supongamos $0<a<b$ con $b$ no es divisible por ninguno de los dos $2$ ni $5$ y encontrar un $n$ tal que $b|(10^n-1)$ En particular $10^n-1=bm$ para que

$$\frac{a}{b}=\frac{am}{10^n}+\frac{am}{10^{2n}}+\frac{am}{10^{3m}}+\cdots.$$

Nota de nuevo $am<bm+1=10^n$ así que esto proporciona una expansión decimal limpia. Ignoramos los enteros, y para los racionales en general podemos descomponerlos en una suma del entero más cercano más la parte fraccionaria del racional, y aplicar este método a la parte fraccionaria, luego recombinar. Para los racionales con $2,5$ en la factorización primaria del denominador, sácalos y multiplícalos por ellos después: sus recíprocos son simplemente $0.5$ y $0.2$ después de todo.

Por último, para la base $r$ (suponiendo que $r$ es un número natural positivo de todos modos), encuentre $n$ tal que $b|(r^n-1)$ y adaptar este método. (Recuerde sacar $\gcd(b,r)$ del denominador). Obsérvese que $n$ está garantizada su existencia porque $r$ tiene un pedir modulo $b'$ ( $b'$ coprima) por la teoría elemental de los números.

Además, si $d|r$ entonces $\frac{1}{d}=\frac{(r/d)}{r}$ es una forma fácil de calcular la base- $r$ expansión de $1/d$ . Esto ayuda con los factores de "extracción" (es decir, con $d=\gcd(b,r)$ ).

Answer 4

Utilizando la fórmula de la suma de una serie geométrica, obtenemos $$ \sum_{k=1}^\infty\frac{3}{8^k}=\frac38\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{8^k}=\frac38\frac{1}{1-\frac18}=\frac38\frac87=\frac37 $$ Por lo tanto, $$ \frac37=\sum_{k=1}^\infty\frac{3}{8^k} $$

Answer 5

¿Expansión en serie infinita de un número? Hay muchas series cuya es $\,3/7\,$ Algunos de ellos son bastante buenos: $$\frac{1}{2}\sum^\infty_{n=0}\frac{1}{(-6)^n}$$$$ \frac{18}{7\pi^2}\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^2}$$ y un largo etc.