Los ceros de la función $f(x)=x^2-ax+2a$ son enteros. Encuentra todos los valores posibles de a.

Question

Hasta ahora sólo he conseguido 9 de sólo adivinar y comprobar. Estoy pensando en usar la Fórmula de Vieta, pero tengo problemas con el álgebra. ¿Puede alguien darme los primeros pasos?

Answer 1

Deje que $u$ y $v$ ser los ceros, entonces $u+v=a$ y $uv=2a$ . Eso es, $uv = 2(u+v)$ o $u(v-2) = 2v$ . Lo que significa $v \neq 2$ y más allá, $u = \dfrac {2v}{v-2} = 2 + \dfrac {4}{v-2}$ . Lo que significa $v-2$ debe ser uno de los divisores (positivo o negativo) de $4$ . Así que tienes seis candidatos, y todos ellos proporcionarán valores para $a$ sólo tienes que computarlas.

Answer 2

$u+v=a$ y $uv=2a$ conducirán a $uv-2u-2v=0$ y por lo tanto a $(u-2)(v-2)=4$ .
$4$ no puede escribirse como el producto de dos enteros de demasiadas maneras, sólo $1 \cdot 4$ , $2 \cdot 2$ , $4 \cdot 1$ , $(-1) \cdot (-4)$ , $(-2) \cdot (-2)$ , $(-4) \cdot (-1)$ . De ello se deduce que $$(u,v) \in\ {(3,6),(4,4),(6,3),(1,-2),(0,0),(-2,1)\}$$ y $$ a \in \{-1,0,8,9\}. $$