Betsy y Katie están jugando un juego con una moneda injusta. La moneda está amañada para cabezas con probabilidad $\frac35$ y colas con probabilidad $\frac25$.
Betsy va primera. Los dos turnan. El primer jugador para voltear una gana de cola. ¿Cuál es la probabilidad de Betsy de ganar?
Lo que me confunde es que el juego puede continuar para una cantidad ilimitada de veces (al menos hasta que Betsy voltea una cola). ¿Cómo se resuelve esto?
Deje $p$ la probabilidad de que Betsy gana el juego. Revisamos algunos de los casos. Si Betsy voltea colas en su primer movimiento, después de que ella gana y el juego de los extremos; esto ocurre con probabilidad de $2/5$. De lo contrario, Katie se presenta una oportunidad para jugar; esto ocurre con probabilidad de $3/5$. Si Katie se presenta una oportunidad para jugar, ella gana con probabilidad de $2/5$, o reinicia el juego con una probabilidad de $3/5$. Por lo tanto, $$p = \frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \left(\frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{3}{5} p \right) \implies p = \frac{5}{8}$$
Alternativamente, la probabilidad de que Betsy gana es igual a la probabilidad, ella gana su primer movimiento, además de la probabilidad, ella gana en su segundo movimiento, además de ...
La probabilidad de Betsy gana en su $k$th movimiento es $$\left(\frac{3}{5} \right)^{2(k-1)} \cdot \frac{2}{5}$$ since every flip before her winning move must have been a heads. So the answer is $$\frac{2}{5} \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5} \right)^{2(k-1)} = \frac{5}{8}$$
Tenga en cuenta que estas dos soluciones son esencialmente los mismos.
El Betsy gana bajo estos resultados. $T,\space HHT,\space HHHHT ,\space HHHHHHT$ etcetera.
Esas posibilidades son $(\frac{2}{5}), (\frac{3}{5})(\frac{3}{5})(\frac{2}{5}), (\frac{3}{5})(\frac{3}{5})(\frac{3}{5})(\frac{3}{5})(\frac{2}{5})$ por lo que se puede establecer como una suma es una suma geométrica decreciente que es soluble.
Serie geométrica viene a $$\frac{\text{first term}}{1-\text{ratio}}=\frac{\frac{2}{5}}{1-(\frac{3}{5})(\frac{3}{5})}=\frac{5}{8}$ $
La probabilidad de que gana el Betsy en el intento de $1$% es $\frac25$
La probabilidad de que gana el Betsy en el intento de $2$% es $\frac35\cdot\frac35\cdot\frac25$
La probabilidad de que gana el Betsy en el intento de $n$% es $(\frac35)^{2n}\cdot\frac25$
La probabilidad de que gana el Betsy en algún momento es $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(\frac35)^{2n}\cdot\frac25$
$$\sum\limits{n=0}^{\infty}(\frac35)^{2n}\cdot\frac25=\frac25\cdot\sum\limits{n=0}^{\infty}(\frac{9}{25})^n=\frac25\cdot\frac{1}{1-\frac{9}{25}}=\frac58$$
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