Demostrar que la norma de una aplicación lineal satisface la desigualdad $||Tx|| \leq M||x||$ % todos $x$.

Question

De la prueba.

Que $T$ sea un operador lineal acotado.

Entonces $$||T||=\sup_{x\neq 0}\frac{||Tx||}{||x||}$ $

Así $||T|| \geq \frac{||Tx||}{||x||}$, es decir, $||T||.||x||\geq ||Tx||$.

¿Am no entiendo si te dejo $M=||T||$, esta prueba correcta?

Answer 1

Una transformación lineal es una función continua y si tenemos cuenta de linealidad es ya para probar el afirmation para x con || x || = 1 y que dominio es compacto por lo que existen M = sup || T (x) || Cuando || x || = 1.

Answer 2

Sí, si $M=\|T\|$ la desigualdad es verdadera por definición de operador de la norma (con la observación de que, obviamente, tiene también para $x=0$).

Por otro lado, si la desigualdad se satisface para algunos $M$, entonces el conjunto $\{\|T(x)\|/\|x\|: x\ne0\}$ es acotado por arriba y por lo que tiene un supremum.

El problema podría ser que usted comience con un operador acotado (por lo que envía la unidad de la esfera alrededor de la $0$ en una limitada esfera alrededor de la $0$) y quiere establecer la existencia de $M$, lo que luego permitirá definir el operador de la norma. Por supuesto, usted sabe que, si $\|x\|<1$, $\|Tx\|<k$ algunos $k$; pero, a continuación, $$ \left\|\frac{1}{2\|x\|}x\right\|<1 \qquad\text{implica}\qquad \left\|\frac{1}{2\|x\|}Tx\right\|<k $$ para todos los $x\ne0$ y somos capaces de encontrar una $M$ a empezar.