Supongamos que $f: A \to B$ y $g: B \to C$ son funciones.

Question

1. Supongamos que $f: A \to B$ $g: B \to C$ son funciones. Probar lo siguiente:

(a) Si $g \circ f$ es inyectiva, entonces $f$ es inyectiva.

Prueba. Suponga que $f$ no es inyectiva. Entonces existe $a,b \in A$ tal que $f(a) = f(b)$$ a \ne b$. De ello se desprende que hay un $a,b \in A$ tal que $g(f(a)) = g(f(b))$ pero $a \ne b$, lo que demuestra que $g$ no es inyectiva. $\Box$

(b) Si $g \circ f$ es surjective, a continuación, $g$ es surjective.

Prueba. Suponga que $g \circ f$ es surjective. A continuación, para cada $c \in C$, existe un $a \in A$ que $g(f(a)) = c$. Desde $f$ es una función de$A$$B$, para cada una de las $a \in A$ hay un único, $b \in B$ tal que $f(a) = b$. En consecuencia, existe un elemento $b \in B$ tal que $g(b) = c$. Por lo tanto $g$ es surjective. $\Box$

2. Supongamos que $g : B \to C$ es una función.

(a) Mostrar que $g$ es inyectiva si y sólo si para cualquier conjunto $A$ y dos funciones cualesquiera $f_1,f_2: A \to B$ ha $g \circ f_1 = g \circ f_2 \Rightarrow f_1 = f_2$.

Prueba. Suponga que $g$ es inyectiva y $g(f_1(x)) = g(f_2(x))$ por cada $x \in A$. De inyectabilidad de los rendimientos de $f_1(x) = f_2(x)$, lo $g$ cancelables. Supongamos ahora que $g \circ f_1 = g \circ f2$ implica $f_1 = f_2$. Por lo tanto $g$ debe ser inyectiva, de lo contrario podríamos encontrar $f_1, f_2 : A \to B$ tal que $f_1(x) \ne f_2(x).$ Esto completa la prueba en ambas direcciones. $ \Box$

(b) Mostrar que el $g$ es surjective si y sólo si para cualquier conjunto $D$ y dos funciones cualesquiera $h_1,h_2: C \to D$ ha $h_1 \circ g = h_2 \circ g \Rightarrow h_1 = h_2$.

Prueba. Supongamos que $g$ es surjective y $h_1(g(b)) = h_2(g(b))$ algunos $b \in B$. A continuación, para cada $c \in C$ existe un $b \in B$ tal que $g(b) = c.$ Ahora si $h_1(g(b)) = h_2(g(b))$$h_1(c) = h_2(c)$$h_1 = h_2$, lo $g$ es derecho cancelables. Ahora supongamos que $g$ no es surjective. A continuación, para todos los $b \in B$, existe al menos un $c_0 \in C$ tal que $g(b) \ne c_0$. Deje $D = \{m,n\}$ y definen $h_1: C \to \{m,n\}$$h_1(c) = m$$h_2: C \to \{m,n\}$$h_2(c) = \left\{ \begin{array}{lr} m : c \ne c_0\\n : c = c_0 \end{array}\right. $. A continuación, $h_1 \circ g = h_2 \circ g$ pero $h_1 \ne h_2$. Por lo tanto si $g$ es derecho cancelables, a continuación, $g$ debe ser surjective. $\Box$

Son mis pruebas correcta? Quiero asegurarme de que no estoy perdiendo nada. Gracias

Answer 1

Usted puede tener por objetivo directo de las pruebas. Supongamos que $f(x)=f(y)$. A continuación,$gf(y)=gf(x)$, y desde $gf$ es inyectiva, esto implica $x=y$. La segunda de las pruebas se ve bien. La tercera prueba no es bueno: estamos hablando de los subconjuntos del producto $A\times B$? Esto no es lo que se supone que estás haciendo. Acaba de añadir a su vocabulario, uno dice $f$ cancelables si $fh=fg$ implica $h=g$. Voy a mostrar cómo probar que una función de $f:A\to B$ es inyectiva si es a la izquierda cancelables, entonces usted puede tener por objetivo tratar de adaptar esta idea a mostrar una función de $g:A\to B$ es en el fib es justo cancelables.

Si $f$ es inyectiva y $fg(x)=fh(x)$ cualquier $x$; de inyectividad da $g(x)=h(x)$ por cada $x$, lo $f$ cancelables. Ahora supongamos $f$ es no inyectiva. Entonces no existe $a,b$ tal que $f(a)=f(b)$ aún $a\neq b$, e decir $f:X\to Y$. Deje $2=\{0,1\}$, y definir $h_1:2\to X$$h_1(0)=h_1(1)=a$$h_2:2\to X$$h_2(0)=a,h_2(1)=b$. A continuación,$fh_1=fh_2$, pero $h_1(1)=a\neq b=h_2(1)$.

Puede usted pensar en una similar de la prueba para mostrar una función de $g:A\to B$ es en el fib es justo cancelables? En lenguaje más elaborado, el concepto de función inyectiva y monic (es decir, la izquierda cancelable) de morfismos, y el concepto de surjective la función y la épica (es decir, derecho de cancelación) de morfismos coinciden en la categoría de conjuntos, donde los objetos son conjuntos y las flechas son funciones.