¿Por qué es necesario en la definición en la definición de un orden en un conjunto la transitividad?

Question

En Rudin, Principios de Análisis Matemático (ed. 3), nos proporciona la siguiente definición (p 3)

Definición: Dejar $S$ ser un conjunto. Un pedido en $S$ es una relación, que se denota por a $<$, con las siguientes dos propiedades:

(1) Si $x \in S$$y\in S$, a continuación, una y sólo una de las declaraciones: $x<y$, $x=y$, o $y<x$ es cierto.

(2) Si $x,y,z \in S$ si $x<y$$y<z$, $x<z$

Lo que me preguntaba es si la propiedad 2 debe sostener por definición. No hay respuesta que me había dado el sí.

Supongamos que la definición anterior es sólo la primera condición. Ahora toma un conjunto, $S=(1,3,5)$. A continuación definimos el siguiente orden en $S$: $1<3$, $3<5$, $5<1$.

El orden en que se satisface la primera propiedad de la definición, pero no en la segunda. De ahí la Transitividad como se requiere de una definición.

Es mi razonamiento correcto, y hay algo que me perdí?

Answer 1

Ese es un buen ejemplo de cómo sin transitividad, no podemos tener lo que queremos: una ordenada relación.

Puede usted pensar en un ejemplo de cómo la transitividad, no son suficientes? (Sin la primera condición?).

Las dos propiedades/condiciones son independientes: hay relaciones que son transitivos, pero no trichotomous, y hay relaciones que son trichotomous, pero no transitiva. Pero sin que ellos tienen en virtud de una determinada relación, no podemos capturar, o definir, lo que queremos definir: una ordenada relación.

Answer 2

Usted es correcto.

Lo que usted afirma es que las propiedades son $independent$, que se pueden encontrar ejemplos en los que ambos son verdaderos o uno es verdadero y otro falso.

Mucho trabajo se ha realizado sobre la independencia.

Answer 3

Por transitividad tienes $1