Dada la siguiente ecuación:
$$f(x) = \frac{x-1}{x^2-1}$$
encontrar el límite de $f(x)$ cuando $x \to 1$.
Sé cómo resolverlo, al simplificar la ecuación anterior a $f(x)=1/(x+1)$, dando el % de respuesta $1/2$.
Pero mi pregunta es: es igual a $(x-1)/(x^2-1)$ $1/x+1$. ¿Por qué $(x-1)/(x^2-1)$ da $0/0$ $x=1$, $1/(x+1)$ $1/2$ que da cuando $x=1$?
Los gráficos de $f(x)=(x-1)/(x^2-1)$ $g(x)=1/(x+1)$ no son iguales: se diferencian por exactamente un valor de $x$, es decir, la que dio! Específicamente, $f$'s gráfico es sólo la de $g$, pero con un "agujero" pinchamos en ella en el punto de $(1, 1/2)$. Es una discontinuidad removible, como este:
La razón por la que esto sucede es que $f(x)$ es sólo $g(x)$ multiplicado por el $(x-1)/(x-1)$. Podemos examinar el comportamiento de la función que más de cerca:
Así que para todos los valores de $x$ pero uno, se multiplica por $1$, y el valor de $f(x)$ $g(x)$ es igual. Sólo para $x=1$ nuestra nueva función recibe un "agujero", agregó.
¡No hay dos respuestas! Como es, la función no está bien definida para x = 1, como la división por 0 no está definida. Es decir, usted sólo no puede sustituir x = 1 en la expresión original. Tiene sentido sólo como un límite. Otra cosa, una vez que se identifica con 1 / x +1 que puede atribuir un valor finito en x = 1.
Lo tienes en el primer caso es un límite de un cociente con una forma indefinida.
Que es $\lim\limits_{x\to c} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ donde$\lim\limits_{x\to c} f(x)=0$$\lim\limits_{x\to c} g(x)=0$.
Específicamente, usted tiene $f(x)=x-1, g(x) = x^2-1$. Ambos se desvanecen en el punto límite, $x=0$.
Tales límites puede ser asignado un valor definido con el uso de diversas técnicas. Un ejemplo de este método es cancelar los términos comunes que no son igual a cero cerca del punto límite. (Este plazo puede ser igual a cero en el punto límite, siempre y cuando no lo hace en el enfoque).
El plazo de cancelación se $(x-1)$.
Así que a pesar de $\frac{x-1}{x^2-1}$ $\frac{1}{x+1}$ sólo son iguales en todas partes , pero en el punto de $x=1$, donde la primera función es discontinua, ambos hacen de enfoque el mismo límite.
Son dos funciones diferentes, pero que se diferencian sólo en sus dominios -- lo que x se le permite ser. Y lo prohibido valor es x = 1.
Usted, sin embargo, permitido a tan de cerca con la fruta prohibida, como te gusta. Cuanto más nos acercamos a x = 1 en la primera ecuación, el más cerca de usted obtendrá el valor que estás buscando.
Supongamos que tienes un camino con un desfiladero en su camino. Usted no puede viajar por el camino al otro lado debido a la garganta. Pero usted puede construir un puente. Eso es lo que la factorización hizo por usted. Las funciones de ambos van al mismo lugar , excepto donde el desfiladero.
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