Mostrar que $\int_{a}^{c}f(x)dx = 0$ % todo $c\in [a,b]$si y sólo si $f(x) = 0$ % todos $x\in [a,b]$.

Question

Ejercicio:

Supongamos que $a<b$ y $f:[a,b]\rightarrow R$ es continua. Mostrar que $\int_{a}^{c}f(x)dx = 0$ todos los $c\in [a,b]$ si y sólo si $f(x) = 0$ todos los $x\in [a,b]$.

intento de la prueba:

Supongamos que $a<b$ y $f:[a,b]\rightarrow R$ es continua. Deje $m$ $M$ ser el infimum y supremum de f. Desde $f(x) = 0 $ para todos los $x\in [a,b]$ $m = 0$ desde $f(x) = 0$. Por lo tanto, para todas las particiones $P$ de $[a,b]$, $L(f,P) = m(b-a) = 0$ implica $L(f,P) = 0$. Por lo tanto, $(L)\int_{a}^{c}f(x)dx$ = $sup{L(f,P)}$ = $0$.

En una manera similar, podemos trabajar con el supremum. Por lo tanto, si tanto la integral inferior de f y la parte superior de la integral de f tienen el mismo valor , se puede concluir, entonces, el valor de la

$\int_{a}^{c}f(x)dx = 0$ todos los $c\in [a,b]$

La conversación es trivial, ya que $\forall c\in [a,b]$ $f(c) = 0$ desde $f(x)=0$ , lo $\int_{a}^{c}f(x)dx = 0$

Por favor alguien puede ayudarme? No sé si esto es una manera de demostrarlo. Cualquier comentario/sugerencia o mejor manera sería muy apreciada.Gracias de antemano.

Answer 1

Que han demostrado que si $f(x)=0$, $\int_a^c f(x)\;dx=0$ bien - acaba de limpiar un poco. Sin embargo, la otra dirección que no han demostrado. Quiere mostrar que si $\int_a^c f(x)\;dx=0$ todos los $c\in[a,b]$$f(x)=0$. Todavía no sé que $f(x)=0$. Yo voy a dar una pista:

Usted sabe que $\int_a^cf(x)\;dx=0$$c \in [a,b]$. Pero lo de la zona de la curva entre el $[c,b]$? Usted sabe que $f$ es continua. Utilice el hecho de que tiene un lugar bien definido inf y sup. Cómo es de grande/pequeño puede el ser integral para$f$$[c,b]$? Puede hacer esto muy pequeña a pesar de la elección de la partición por la elección de $c$ muy cerca de $b$?

Answer 2

La idea básica es que, si $f$ es continua y hay un punto de $z$ tal que $f(z) \ne 0$, a continuación, hay un barrio de $z$ tal que $f(x) \ne 0$ y tiene el mismo signo de $f(z)$ en ese barrio. Luego miramos la integral de la $f$ en ese barrio y demostrar que la integral de $f$ sobre ese barrio es distinto de cero.

Supongamos que $f(z) \ne 0$ para algunos $z$. A continuación, desde $f$ es continua, para cualquier $\epsilon > 0$ hay un $\delta$ tal que $|f(z)-f(x)| < \epsilon$ para todos los $x$ tal que $|z-x| < \delta$.

En lo que sigue, suponga que $f(z) > 0$. Si $f(z) < 0$, invertir el signo de $f$.

Ahora elija $\epsilon = |f(z)/2|$. Deje $d$ $\delta$ para esto $\epsilon$. Entonces $|f(z)-f(x)| < |f(z)/2|$ para todos los $x$ tal que $|z-x| < d$.

Por lo tanto, por la desigualdad de triángulo, para $|x-z| \le d $, $|f(z)| =|f(z)-f(x) + f(x)| \le |f(z)-f(x)| + |f(x)| $ o $|f(x)| \ge |f(z)|-|f(z)-f(x)| \ge |f(z)|-|f(z)|/2 = |f(z)|/2 $.

Desde $|f(x)-f(z)| \le f(z)/2 $, $f(x) \ge f(z)/2$.

Por lo tanto, $\int_{z-d}^{z+d} f(x)dx \ge \int_{z-d}^{z+d} f(z)/2\ dx = (2d)(f(z)/2) =d f(z) > 0 $.

Por lo tanto, desde $\int_a^{z+d} f(x) dx =\int_a^{z-d} f(x) dx +\int_{z-d}^{z+d} f(x) dx $, desde $\int_{z-d}^{z+d} f(x) dx > 0 $, si $\int_a^{z+d} f(x) dx = 0 $, entonces $\int_a^{z-d} f(x) dx < 0 $.

Por lo tanto, si $f$ es continua y hay un $z$ tal que $f(z) \ne 0$, no es cierto que $\int_a^c f(x) dx = 0 $ para todos los $c \in [a, b]$.

Tomando el contrapositivo, si $f$ es continua y $\int_a^c f(x) dx = 0 $ para todos los $c \in [a, b]$, entonces $f(x) = 0$ para todos los $c \in [a, b]$.

Answer 3

Si $f(x) = 0$ $[a,b]$, entonces es obvio que $\int_a^c f(x) dx = 0$ % todos $c\in [a,b]$.

Si $F(c) = \int_a^c f(x) dx = 0$ % todo $c\in [a,b]$y $f(x)$ son continua en $[a,b]$, entonces se aplica el Teorema fundamental del cálculo y podemos diferenciar $F(c)$ con respecto a los $c$: $$\frac{d}{dc} \int_a^c f(x) dx = f(c) = \frac{d}{dc} 0 = 0$ $ para que $f(c) = 0$ cuando $c \in (a,b)$. Podemos concluir por la continuidad de $f(x)$ $f(x) = 0$ en los puntos de frontera, así.