¿Cómo probar esta fórmula usando sumas?

Question

Tengo que probar esta fórmula

$$\sin x\cos y+\cos x\sin y=\sin(x+y)$$

utilizando sumas

$$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n\cdot x^{2n}}{2n!}$$

Mi intento de resolverlo:

$$\begin{align} & \phantom{{}={}}\sin x\cos y+\cos x\sin y \[10pt] & =\sum{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}\sum{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n\cdot y^{2n}}{2n!}+\sum{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n\cdot x^{2n}}{2n!}\sum{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n\cdot y^{2n+1}}{(2n+1)!} \[10pt] & =\sum{n}^{\infty }\sum{k}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\frac{(-1)^{n-k}y^{2(n-k)}}{2(n-k)!}+\sum{n}^{\infty }\sum{k}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k}}{2k!}\frac{(-1)^{n-k}y^{2(n-k)+1}}{(2(n-k)+1)!} \[10pt] & =\text{ ?} \end {Alinee el} $$

Ahora no sé cómo continuar. Intenté hacer "magia" con los coeficientes binomiales, pero no fue exitoso.

Gracias por la ayuda

Answer 1

Me gustaría empezar en el otro extremo: $$ \begin{align} \sin(x+y) & = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(x+y)^{2n+1}}{(2n+1)!} \\[10pt] & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \sum_{k=0}^n \binom n k x^k y^{n-k} \\[10pt] & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(n!\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\cdot \frac{y^{n-k}}{(n-k)!}\right) \end{align} $$

A continuación, me gustaría reorganizar la suma: $$ \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=0} ^\infty (a_\ell b_m) = \sum_{\ell=0}^\infty \left( a_\ell \sum_{m=0}^\infty b_m\right) $$

El último paso funciona porque $a_\ell$ no chagne como $m$$0$$\infty$. Luego de que lass suma no cambia como $\ell$$0$$\infty$, así que podemos escribir $$ \left(\sum_{\ell=0}^\infty a_\ell\right)\left(\sum_{m=0}^\infty b_m\right) $$ y así sucesivamente.

¿Por qué el primer reordenamiento de la suma de trabajo? No es necesario mirar por qué forma de escribir la suma pasa a través de toda la lista de pares de números enteros no negativos.