Tratar de entender un Comentario sobre topología de Zariski

Question

Estoy leyendo algunas notas en las que siguiente comentario:

La topología de Zariski es muy diferente de la habitual. Por ejemplo, en el espacio afín $ \mathbb A^n$ un subconjunto cerrado que no es igual a $ \mathbb A^n$ cumple al menos uno no trivial de la ecuación polinómica y tiene, por tanto, necesariamente la dimensión de menos de $n$, por lo que los subconjuntos cerrados en la topología de Zariski en un sentido "muy pequeño".

Mis preguntas son las siguientes:

1. ¿Cuál es el significado de la dimensión de aquí?
2. ¿Cuál es el significado de 'por lo que el subconjuntos cerrados en la topología de Zariski en un sentido "muy pequeño"'?
3. ¿Cuáles son algunos otros "raros" propiedades de la topología de Zariski?

Answer 1

Si tenemos en cuenta la topología de Zariski en el espectro de un anillo (y no sólo en su máxima ideales), un punto no es necesariamente cerrado. En realidad el cerrado de los puntos corresponden a la máxima ideales. Por ejemplo, si $A$ es una parte integral de dominio,el $0$ primer ideal es denso en $\operatorname{Spec}A$.

Topología de Zariski no es Hausdorff, pero es la prueba de Kolmogorov, es decir, dados dos puntos distintos no es un barrio de uno de ellos, que no contiene al otro.

La idea detrás de la topología de Zariski es que para conocer a una variedad algebraica: también debemos conocer todas las subvariedades.

Answer 2

Una manera de explicar "muy pequeña" es si piensas en $\mathbb A^n$ $\mathbb C$ $\mathbb C^n$ con la topología euclidiana (que estrictamente contiene la topología de Zariski en el sentido que Zariski-cerrado implica euclidiana cerrado), que tienen de todos los subconjuntos apropiados Zariski-cerrado Medida de Lebesgue $0$.

Answer 3

1) cerrados conjuntos están definidos por algunos cero sistema de un ideal, decir $I$, dimensión significa que la dimensión del anillo $k[x_1,...,x_n]/I$.

2) por ejemplo, sistemas cerrados en $\mathbb{A}^1$ son un conjunto finito de puntos como el conjunto de cero de un polinomio está limitado por el grado.

3) topología de Zariski no es Hausdorff.