¿Podemos considerar al operador de campo $\Psi (x)$ como $a_{x}^{\dagger }$ , $a_{x}$ ?

Question

En el campo escalar real CG, ¿tenemos $a_{x}^{\dagger }$ y $a_{x}$ ¿operadores?

Porque tenemos $a_{p}^{\dagger }$ y $a_{p}$ , también la relación $\Psi (x)=\int dp\, \, a^{\dagger }e^{-ipx-i\omega t}+ae^{ipx+i\omega t}$

Desde
$a_{p}^{\dagger }|0 \rangle=|p\rangle$ que significa un estado con una partícula de momento p

Entonces me gustaría tener algo similar,

$a_{x}^{\dagger }|0\rangle=|x\rangle$ lo que significa un estado con una partícula de ubicación x

$\Psi (x) |0 \rangle=\int dp\, \, e^{-ipx}|p\rangle=|x\rangle$ que significa un estado con una partícula localizada en x

$|x,x',x''\rangle$ que significa un estado con tres partículas localizadas en x x' x''

Así que creo que $\Psi (x)$ es $a_{x}^{\dagger }$ porque $a_{x}^{\dagger }|0\rangle=|x\rangle$ ,

o estoy equivocado $\Psi (x) |0 \rangle=\int dp\, \, e^{-ipx}|p\rangle=|\Psi (x)\rangle$ que es diferente de $|x\rangle$

$\Psi (x) =\Psi^{\dagger } (x)$ implica $a_{x}^{\dagger }=a_{x}$ entonces $a_{x}^{\dagger }|0\rangle=|x\rangle=a_{x}|0\rangle=0$ ¡Incorrecto!

¿Existe un sistema bien definido de $a_{x}^{\dagger }$ y $a_{x}$ ?

Answer 1

Realmente no se puede tener campo libre operadores $a_x$ y $a^\dagger_x$ porque las excitaciones en lugares cercanos son acoplado debido a la derivada en la densidad lagrangiana.

Cuando se explota la simetría traslacional en la teoría y la transformación de Fourier, se pasa a una base donde los modos con momento $k$ no se acoplan a los modos con momento $k^\prime$ . Por lo tanto, se pueden escribir operadores de campo libre como los anteriores.

Si te empeñas en construir operadores de creación/aniquilación en cada punto, se acoplarían los puntos cercanos y el lagrangiano/hamiltoniano se parecería a algo de lo que comentas.

Si estás de acuerdo con eso, entonces tienes razón en identificar $a_x \equiv \Psi(x)$

Answer 2

No, no puedes. La cuestión es que en la QFT reducimos las coordenadas del espaciotiempo de observables a meros parámetros de nuestros campos.

En la mecánica cuántica no relativista, tienes el tiempo $t$ como parámetro que rige la evolución de sus estados. Tenga en cuenta que hay no ¡operador que corresponde al tiempo!

Para aplicar la relatividad, tenemos que tratar el espacio y el tiempo al mismo nivel. Esto significa degradar el espacio a un mero parámetro en nuestra teoría. Nuestros operadores (como su $\Psi(x)$ ) ahora no sólo dependen del tiempo (lo que hacen los operadores en la QM no relativista en la imagen de Heisenberg), sino que también dependen del espacio. Ya no existe un procedimiento de cuantización como en la QM normal.

Obsérvese que las cantidades que aparecen en los conmutadores que se imponen en el procedimiento de cuatización son no $\vec x, \vec p$ pero $\Psi, \Pi$ , donde $\Pi$ es el momento conjugado al campo $\Psi$ y no el operador de momento que aparece, por ejemplo, en el álgebra de Poincare.