von Staudt-Clausen más de un campo totalmente real

Question

Antes de hacerle la pregunta, debo recordar lo que los números de Bernoulli $(B_k)_{k\in\mathbb{N}}$ , y de lo que von Staudt y Clausen descubierto acerca de en 1840. Los números de $B_k\in\mathbb{Q}$ son los coeficientes en el poder formal de la serie $$ {T\a través de e^T-1}=\sum_{k\in\mathbb{N}}B_k{T^k\sobre k!} $$ así que $B_0=1$, $B_1=-1/2$, y es fácil ver que $B_k=0$ $k>1$ impar.

Teorema (von Staudt-Clausen, 1840) Deje $k>0$ ser un entero par, y deje $p$ ejecutar a través de los números primos. Entonces
$$ B_k+\sum_{p-1|k}{1\over p}\in\mathbb{Z}. $$ John Coates, comentó en una reciente taller en el que el análogo de este teorema totalmente real, campo de número de $F$ (distinta de $\mathbb{Q}$) es un problema abierto; incluso un débil analógica implicaría Leopoldt la conjetura de $F$. Me perdí el oportunidad de pulsar en él para obtener más detalles.

Pregunta : ¿Cuál es el análogo de la declaración sobre un hecho totalmente real campo de número ?

Answer 1

Yo también no puedo responder a esa pregunta, pero voy a decir algunas cosas que podrían ayudar. Una cosa von Staudt-Clausen le dice que es el denominador de la de Bernoulli número $B_k$: es, precisamente, el producto de números primos p para los que $p-1\mid k$ (al $p-1\nmid k$, un resultado de Kummer dice que $B_k/k$ es p-integral). Como Ratonero comentado, los números de Bernoulli debe ser pensado (al menos en esta situación) como aparecer en especial los valores de p-ádico L-funciones, específicamente, para k un entero positivo $$\zeta_p(1-k)=(1-p^{k-1})(-B_k/k),$$ donde $\zeta_p$ es el p-ádico de Riemann zeta función (véase el capítulo II de Koblitz "p-ádico números, p-ádico de análisis, y zeta-funciones", por ejemplo). Totalmente real, campo de F, una generalización de la p-ádico de Riemann zeta función existe, es decir, el p-ádico Dedekind zeta función de $\zeta_{F,p}$ (como se demostró de forma independiente por Deligne–Ribet (Inv Matemáticas 59), Cassou-Noguès (Inv Matemáticas 51), y Barsky (1978)). Un enlace entre estos y el Leopoldt conjetura es a través de la p-ádico de la analítica de la clase número de fórmula, que es la principal teorema de Colmez "Résidue es s = 1 des fonctions zêta p-adiques" (Inv Matemáticas 91): $$\lim_{s\rightarrow1}(s-1)\zeta_{F,p}(s)=\frac{2^{[F:\mathbf{Q}]}R_phE_p}{w\sqrt{D}}$$ donde h es el número de clase, $$E_p=\prod_{\mathfrak{p}\mid p}\left(1-\mathcal{N}(\mathfrak{p})^{-1}\right)$$ is a product of Euler-like factors, w = 2 is the number of roots of unity, D is the discriminant and $R_p$ is the interesting part here: the p-adic regulator (as Colmez notes, $\sqrt{D}$ and $R_p$ ambos dependen de una elección de signo, pero su relación no).

Teorema: El Leopoldt conjetura es equivalente a la no desaparición de la p-ádico regulador.

(Para esto, véase, por ejemplo, en el capítulo X de Neukirch-Schmidt-Wingberg "Cohomology de número de campos").

Una clara consecuencia de esto es que si $\zeta_{F,p}$ no tiene un polo en s = 1, entonces el Leopoldt conjetura es falsa (F, p). Tal vez una comprensión de los denominadores de los valores de $\zeta_{F,p}$ podría llevar a un entendimiento de que el polo en s = 1 $\zeta_{F,p}$.

Añadido (2010/04/09): Así que aquí está cómo usted puede utilizar von Staudt–Clausen ver que el $p$-ádico zeta función (de Q) tiene un polo en s = 1. Es claro a partir de su declaración de vS–C que se está diciendo que para $k\equiv0\text{ (mod }p-1)$, $B_k\equiv -1/p\text{ (mod }\mathbf{Z}_p)$ (es decir, no se $p$-integral). Deje $k_i=(p-1)p^i$, $k_i$ $p$- adically convergente a 0, por lo $\zeta_p(1-k_i)$ se aproxima $\zeta_p(1)$ (desde $\zeta_p(s)$ $p$- adically continua, al menos para $s\neq1$). Por el mencionado interpolación de propiedad de $\zeta_p(1-k)$, tenemos $$v_p(\zeta_p(1-k_i))=v_p(B_{k_i}/k_i)=-1-i\rightarrow -\infty$$ por lo tanto $1/\zeta_p(1-k_i)$ se aproxima a 0.