Estoy intentando demostrar que$Sp(2m)$ es un grupo de Lie que usa esto: define una función$f(A)=A^tJA-J$ y trata de ver que se trata de una inmersión. Pero todavía no me he dado cuenta de cuáles son los dominios y el alcance de esta función, ni por qué esta función es en realidad una inmersión. Puedo ver que el espacio tanget en$I$ es en realidad el álgebra de las matrices$B$ con la propiedad$B^tJ+JB=0$; un simple cálculo muestra que el kernel de$df_I$ es exactamente este conjunto. Cualquier ayuda será apreciada.
Respuesta
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Creo que se puede definir $f:GL(2m,\mathbb{R})\rightarrow \mathfrak{o}(2m)$ aquí $\mathfrak{o}(2m)$ denota $2m\times 2m$ antisimétrica real de las matrices.
Reclamo: $f$ es una inmersión.
Prueba:
Para cualquier $A\in GL(2m,\mathbb{R})$,$df_A(B)=B^tJA+A^tJB=A^tJB-(A^tJB)^t$. Como $B$ rangos de todas las $2m\times 2m$ matrices, $A^tJB$ rangos de todas las $2m\times 2m$ matrices desde $A^tJ$ es nonsingular. Por lo tanto $A^tJB-(A^tJB)^t$ rangos de todos los antisimétrica $2m\times 2m$ matrices, que es $df_A(M_n(\mathbb{R}))=\mathfrak{o}(n)$. Por lo tanto, $df_A$ es surjective, es decir, $f$ es una inmersión, y vamos a comprobar la reclamación.
Desde $Sp(2m)=f^{-1}(0)$ es la preimagen de regular valor $0$, $Sp(2m)$ es un submanifold de $GL(2m,\mathbb{R})$ por lo tanto una Mentira grupo.
