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¿Puede tener un grupo de orden $55$ % exactamente $20$elementos de orden $11$?

¿Puede tener un grupo de orden $55$ % exactamente $20$elementos de orden $11$? Dar una razón para tu respuesta


por sylow teorema la respuesta es fácil, pero sin utilizar sylow Cómo puedo solucionar this.can alguien ayudarme a please.thanks por su amable ayuda.

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rschwieb Puntos 60669

En primer lugar, el descuento que podría ser un grupo cíclico, porque entonces no sería exactamente 10 elementos de orden 11.

Si el grupo tenía 20 elementos de la orden de 11, entonces no sería 34 resto de los elementos con el fin de 5.

Contando distintas primer powered elementos es fácil, ya que los subgrupos sólo se cruzan en la identidad: sólo tenga en cuenta que hay $p-1$ elementos de orden $p$ en cada uno de los distintos subgrupos de orden $p$, y así que si usted sabe que hay $n$ subgrupos, hay $n(p-1)$ elementos de orden $p$.

Pero el número de la orden de 5 elementos tendría que ser un múltiplo de $4$ (que no es, si es del 34.)

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bene Puntos 4294

Un teorema de Frobenius dice que la cantidad de elementos en un grupo finito que satisface$x^n=e$ es un múltiplo de n. Para n = 11 esto significa que el número de elementos de la orden 11 más el elemento de identidad es un múltiplo de 11, es decir, el número de elementos de la orden 11 es uno menos que un múltiplo de 11. Entonces no 20.

0voto

Davka Puntos 1

Sé que no necesitas el método de Sylow

Pero si hacemos esta pregunta por el método de Sylow

55 = 5 x 11

solo hay un subgrupo de Sylow 11

por lo que el número de elemento de orden 11 = 10 * 1 = 10

En caso de cualquier error (por favor sugiero)

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