Necesito ayuda con una secuencia aritmética probando pregunta

Question

Se da eso $a_1, a_2, a_3, \ldots ,a_n$ son términos consecutivos de una progresión Aritmética. Tengo que demostrar que

$$\sum_{k=2}^n (\sqrt{a_{(k-1)}} + \sqrt{a_k} )^{-1} = \frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n} }$$

El uso de la inducción Matemática me mostró que es cierto para $n = 2$.

Entonces, suponiendo que se trabaja para $n = m$, que tomó el caso en el $n = m+1\ldots$

El uso de este en el lado izquierdo de la ecuación es :

$$\frac{m-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_m} } + (\sqrt{a_{m}} + \sqrt{a_{m+1}} )^{-1} $$

y en la parte derecha sería

$$\frac{m}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{m+1}} }$$

Cómo puedo demostrar que la LHS = RHS??. He intentado cuadrar ambos, numerador y denominador, así como el uso de las propiedades de una progresión aritmética, pero no he sido capaz de simplificar el álgebra.

Answer 1

Este es uno de esos casos donde escoger el mal "herramienta" para el trabajo conduce a una gran cantidad de dolor innecesario. Olvidar la inducción matemática si se puede (estás obligado a usarlo por que la pregunta?).

En su lugar, se observa que el sumando en el lado izquierdo es igual a:

$$\frac{1}{\sqrt{a_{k-1}} + \sqrt{a_k}}= \frac{{\sqrt{a_{k}}} - \sqrt{a_{k-1}}}{{{a_k}- a_{k-1}}}$$

por "racionalizar" el denominador.

Tenga en cuenta que el denominador es una constante, igual a la diferencia común de la AP. Vamos a denotar que $d$. Ahora, la suma se convierte en:

$$\frac{1}{d}\sum_{k=2}^n (\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k-1}})$$

que, de hecho, los telescopios y se simplifica a $\displaystyle \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d}$.

Ahora "inversa" de la "racionalización" para obtener:

$$\frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}d = \frac{a_n - a_1}{d(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n})} = \frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n}}$$

(en el último paso hemos utilizado $\displaystyle a_n = a_1 + (n-1)d$ por las propiedades básicas de un AP.

Así LHS = RHS (QED).

Por CIERTO, tenga en cuenta que su inicial inductivo paso fue incorrecta - usted debería haber comenzado con $n=2$. Pero cuando traté de inducción, que terminó con un todopoderoso lío, así que no creo que es una herramienta elegante aquí, como he dicho al principio.

Answer 2

En realidad, la inducción no es un desastre: $$ \frac{m-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_m} } + (\sqrt{a_{m}} + \sqrt{a_{m+1}} )^{-1}=\frac{(m-1)(\sqrt{a_m} -\sqrt{a_1})}{a_m - a_1 } + \frac{\sqrt{a_{m + 1}} - \sqrt{a_{m}} }{a_{m+1} - a_m}=\frac{(m-1)(\sqrt{a_m} -\sqrt{a_1})}{d(m - 1)}+ \frac{\sqrt{a_{m + 1}} - \sqrt{a_{m}} }{d}=\frac{(\sqrt{a_{m+1}} -\sqrt{a_1})}{d}=\frac{(a_{m+1} -{a_1})}{d(\sqrt{a_{m+1}} +\sqrt{a_1})}=\frac{m}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{m+1}} } $$ donde d = diferencia común de la AP. Así LHS = RHS

Answer 3

Sea $d$ la diferencia común de A.P. entonces general $n$ término de th es dado como %#% $ #%

Ahora, suponiendo que la igualdad tiene $$a_n=a1+(n-1)d$, entonces obtenemos $n=m$ $ $$\sum {k=2}^{m}(\sqrt{a_{(k-1)}}+\sqrt{a_k})^{-1}=\frac{m-1}{\sqrt {a_1}+\sqrt{am}}$ $ $$\sum {k=2}^{m}\frac{(\sqrt{a_{(k-1)}}-\sqrt{ak})}{a{(k-1)}-a_{k}}=\frac{m-1}{\sqrt {a_1}+\sqrt{am}}$ $ % $ $$\sum {k=2}^{m}\frac{(\sqrt{a_{(k-1)}}-\sqrt{a_k})}{a_1+(k-2)d-(a_1+(k-1)d)}=\frac{m-1}{\sqrt {a_1}+\sqrt{am}}$$$\sum {k=2}^{m}\frac{(\sqrt{a_{(k-1)}}-\sqrt{a_k})}{-d}=\frac{m-1}{\sqrt {a_1}+\sqrt{a_m}}$$

Ahora, ajuste $$\frac{1}{d}\sum _{k=2}^{m}(\sqrt{ak}-\sqrt{a{(k-1)}})=\frac{m-1}{\sqrt {a_1}+\sqrt{am}}\tag 1$ (1), obtenemos $n=m+1$ $ $$\frac{1}{d}\sum {k=2}^{m+1}(\sqrt{ak}-\sqrt{a{(k-1)}})=\frac{m+1-1}{\sqrt {a1}+\sqrt{a{(m+1)}}}$ $ $$\frac{1}{d}\sum _{k=2}^{m}(\sqrt{ak}-\sqrt{a{(k-1)}})+\frac{1}{d}(\sqrt{a{(m+1)}}-\sqrt{a{m}})=\frac{m}{\sqrt {a1}+\sqrt{a{(m+1)}}}$ $ $$\frac{1}{d}\sum _{k=2}^{m}(\sqrt{ak}-\sqrt{a{(k-1)}})=\frac{m}{\sqrt {a1}+\sqrt{a{(m+1)}}}-\frac{1}{d}(\sqrt{a{(m+1)}}-\sqrt{a{m}})$ $ $$=\frac{m}{\sqrt {a1}+\sqrt{a{(m+1)}}}-\frac{1}{d}\frac{(a{(m+1)}-a{m})}{\sqrt{a{(m+1)}}+\sqrt{a{m}}}$$$=\frac{m}{\sqrt {a1}+\sqrt{a{(m+1)}}}-\frac{1}{d}\frac{d}{\sqrt{a{(m+1)}}+\sqrt{a{m}}}$% $ $ $ahora, ajuste $=\frac{m}{\sqrt {a1}+\sqrt{a{(m+1)}}}-\frac{1}{\sqrt{a{(m+1)}}+\sqrt{a{m}}}$ y simplificando, obtenemos $a_{(m+1)}=am+d$$$\frac{1}{d}\sum {k=2}^{m}(\sqrt{ak}-\sqrt{a{(k-1)}})=\frac{m-1}{\sqrt {a1}+\sqrt{a{m}}}$n = m +1$

Por lo tanto, la igualdad es para todos los enteros positivos $ Which is true from (1), hence the equality holds for $