Inducción en una función definida por partes

Question

Deje $f \colon [ 0,\infty) \to [0,\infty)$ $f(x):= \begin{cases} x, & x \leq 1, \\ f(\sqrt{x-1}\,), & x > 1. \end{casos}$

He hecho algunas parcelas de esta función y soy muy consciente de que es limitado (incluso por muy descuidado razones: bien, $\sqrt{x-1} < x$ $x > 1$ y después de un tiempo, vamos a estar en la base de caso, el cual está delimitado por $1$.)

Estoy buscando una buena inducción sobre este hecho. Pero estoy luchando para encontrar una manera razonable de formulación para que. Quiero a prueba de acotamiento. Es una forma inteligente de utilizar la inducción en $n \in \mathbb{N}$ a mostrar que para cualquier $x \in \left[0, n \right]$, $f(x)$ está delimitado por 1?

Hipótesis: $f(x)$ está delimitada en $[0, \infty)$$1$.

Caso Base: $f(x)$ está delimitado por $1$$[0, 1)$: por definición.

Inducción: Si $x \in [0, n )$, no hay nada que demostrar. Para$x \in \left[n, n+1 \right)$,$f(x) = f(\sqrt{x-1})$. Porque $x \in [n, n+1)$, $x-1 \in [n-1, n) \subseteq [0, n)$ y la hipótesis de inducción puede ser utilizado.

Es este razonamiento válido o necesito tener una doble base de caso por $[n-1, n)$.

Answer 1

La función definida por OP nunca mapas a cualquier número fuera del intervalo de $[0,1]$.

Si definimos una secuencia $a_0=0$, $a_{n+1}=a_n^2+1$ los primeros términos de los cuales se $$ 0,1,2,5,26,677,458330,\ldots$$

entonces podemos dividir el intervalo de $(0,\infty)$ en la unión de intervalos disjuntos

$$ (0,1],(1,2],(2,5],(5,26],(26,677),\ldots,(a_k,a_{k+1}],\ldots$$ Considere la siguiente secuencia de $x>1$:

Para cualquier $x=x_0\in(1,\infty)$ definir la disminución de la secuencia finita $$ x_0,x_1,x_2,\ldots ,x_N=x,\sqrt{x-1},\sqrt{\sqrt{x-1}-1},\ldots x_N\in(0,1] $$

Supongamos $x>1$$a_N<x\le a_{N+1}$.

A continuación,$a_N<x\le a_N^2+1$$a_N-1<x-1\le a_N^2$.

Por lo $\sqrt{a_N-1}<\sqrt{x-1}\le a_N$.

Pero $\sqrt{a_N-1}=a_{N-1}$.

Por lo tanto, si $a_N<x\le a_{N+1}$$a_{N-1}<\sqrt{x-1}\le a_N$.

Pero $x_1=\sqrt{x-1}$.

Por lo tanto, con $x=x_0>1$

\begin{eqnarray} x_0&\in&\left(a_{N},a_{N+1}\right]\\ x_1&\in&\left(a_{N-1},a_N\right]\\ x_2&\in&\left(a_{N-2},a_{N-1}\right]\\ & \vdots\\ x_N&\in&(a_0,a_1]=(0,1] \end{eqnarray}

Por lo tanto, para $x=x_0>1$

$$ f(x_0)=f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=\cdots=f(x_N)=x_N\le1$$

Aquí es un gráfico de $f$ en el intervalo de $[0,26]$