¿Es $f$ constante cuando cada punto es local mínima o máxima?

Question

Deje $X$ ser conectado a un espacio topológico y $f:X\to \mathbb R$ ser continua. Además, sabemos que todos los $x\in X$ son extremos locales. Eso no implica que $f$ es constante?

Creo que en el caso de $X$ es segundo contable que debe ser el caso debido a la prueba del Teorema 2 aquí (sólo es indicado para separables métrica espacios de ahí, pero creo que la misma prueba de obras para la segunda contable de los espacios). Pero, ¿qué acerca de un arbitrario conectado espacio topológico $X$?

Answer 1

El documento que enlazas da un contraejemplo ya. Considerar $X = [0,1]^2$ ordenados lexicográficamente, es decir, $(x,y)