¿Dimensión del eigespacio correspondiente?

Question

Estoy estudiando para mi examen lineal y agradecería cualquier ayuda para esta pregunta de práctica:

Se da que λ = 1 es un valor propio de A. ¿Cuál es la dimensión del espacio propio correspondiente?

A = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Entonces con mi conocimiento de que λ = 1, obtuve:

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Lo que asumo de entrada significa que mi dimensión es 0. ¿Es eso correcto? Si no es así, ¿cómo debo hacerlo?

Si tuviéramos una matriz diferente, ¿cómo haría para encontrar correctamente la dimensión? En términos simples, creo que sería cualquier valor que sea linealmente independiente.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

La dimensión es dos. Obsérvese que los vectores $u=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right]$ y $v= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right]$ están en el espacio nulo de $A-I_4=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ es decir $$Au=u\mbox{ and } Av=v.$$ Así que $u$ y $v$ son los vectores propios correspondientes al valor propio $1$ . De hecho, la forma una base para el espacio nulo de $A-I_4$ . Por lo tanto, el eigespacio para $1$ está atravesado por $u$ y $v$ y su dimensión es dos.

Answer 2

En general, el eigespacio de un valor propio $\lambda$ es el conjunto de todos los vectores $v$ tal que $Av=\lambda v$ . Esto también significa $Av-\lambda v=0$ o $(A-\lambda I)v=0$ . Por lo tanto, basta con calcular el núcleo de $A-\lambda I$ para encontrar el eigespacio de $\lambda$ .