Pregunta técnica acerca de Strichartz estimación ' prueba de s.

Question

Yo estaba estudiando en la prueba de Strichartz estimaciones del libro "Semilinear ecuación de Schrödinger" de T. Cazenave. La prueba se divide en varios pasos. Aquí podemos asumir

$$\Theta_{t,f}(t)=\Phi(t)=\Phi_f(t)=\int_0^t e^{i(t-s)\Delta}f(s)ds.$$

Tengo que probar el siguiente Strichartz estimación:

$$\left\|\Phi_f\right\|_{C\left(0,T;L^2(\mathbb{R}^n)\right)}\leq\left\|f\right\|_{L^{q'}\left(0,T;L^{r'}(\mathbb{R}^n)\right)},$$

donde $(q,r)$ es admisible cualquier par, es decir,$-\frac{2}{q}=n\left(\frac1r-\frac12\right)$, e $f\in L^{q'}\left(0,T;L^{r'}(\mathbb{R^n})\right)$.

En la siguiente imagen, veo que en el fin de utilizar el teorema de Fubini para el cambio de las integrales necesito demostrar que $\Phi_f\in L^2$. No entiendo cómo demostrarlo.

Answer 1

No entiendo que parte del argumento utiliza el teorema de Fubini. Dadas $v\in H$ y $g\in C([0,T],H)$, donde H es un espacio de Hilbert, entonces $$ \left(\int_0^t g(s)ds, v\right)_H = \int_0^t (g(s),v)_H ds.$ $

La observación clave parece ser que $C_c([0,T), L^{r'}\cap L^2)$ es realmente denso en $L^{q'}((0,T),L^{r'})$. Pero si usted asume que $f\in C_c([0,T), L^2)$, entonces también $$g: t\mapsto \int_0^t T(t-s)f(s)ds \in C([0,T],L^2)$ $ y se puede realizar el cálculo como escribe Cazenave.