Estados y elementos positivos en $C^*$-álgebras

Question

Deje $A$ ser un unital $C^*$-álgebra y $w$ ser un estado (i.e un lineal positiva funcional tal que $\|w\|=w(1_A)=1$. Estoy tratando de probar lo siguiente:

a) si $a$ es selfadjoint y $w(a^2)=w(a)^2$, entonces para cualquier $b\in A$ tenemos $w(ab)=w(a)w(b)=w(ba)$.

b) si $\|a\|\le 1$ e $T=\left( \begin{array}{cc} 1_A & a \\ a^* & 1_A \\ \end{array} \right) $ then $T$ es positivo.

Lo que he hecho:

para la parte a) me demostró que para cualquier $a\in A$ tenemos $|w(a)|\le w(|a|^2)^\frac{1}{2}$, y sé que para cualquier estado se puede definir un punto interior producto de la siguiente $<a,b>=w(b^*a)$ pero no puedo conseguir el resultado que desea.

para la parte b) es claro que $T$ es selft adjunto, por lo que si $\sigma(T)\subset[0,\infty)$ $T$ es positivo, no estoy seguro de cómo encontrar el espectro de $T$.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Para una): como usted ha recordado, hemos de Cauchy-Schwarz para $w(x^*y)$, es decir, $$ |w(x^*y)|^2\leq w(x^*x)w(y^*y)\quad\forall x,y\in A. $$ Ahora, para cada $b$ $A$ $$ w(ab)-w(a)w(b)=w ((- w(a)1)b)=w(b)\quad\mbox{con}\quad'=-w(a)1. $$ Tenga en cuenta que $a'$ es auto-adjunto y $a'^*a'=a'^2=a^2-2w(a)a+w(a)^21$. Por lo tanto $w(a'^2)=w(a^2)-w(a)^2=0$ por supuesto. Por lo tanto, por Cauchy-Schwarz: $$ |w(a'b)|^2\leq w(a'^*') w(b^*b)= w(a'^2)w(b^*b)=0\quad\Rightarrow\quad w(b)=w(ab)-w(a)w(b)=0$$ para cada $b\in A$. De ello se desprende que $w(ab)=w(a)w(b)$, y podemos mostrar de una manera similar que $w(ba)=w(b)w(a)$.

Para b): observar la matriz identidad $$ (Es)^*(1-T)=\left(\matrix{0&-a\\-a^*&0}\right)\left(\matrix{0&-a\\-a^*&0}\right)=\left(\matrix{aa^*&0\\0&a^*a}\right). $$ De ello se desprende que $\|I-T\|^2=\|(I-T)^*(I-T)\|=\max\{\|aa^*\|,\|a^*a\|\}=\|a\|^2$.

Si $\|a\|\leq 1$, obtenemos $\|I-T\|\leq 1$, lo $T=I-(I-T)$ es positivo.