Demostrando que $\frac{(k!)!}{k!^{(k-1)!}}$ es un número entero

Question

Tengo que demostrarlo:

$$\frac{(k!)!}{k!^{(k-1)!}} \in \Bbb Z$$

para cualquier $k \geq 1, k \in \Bbb N$

Intentado hacer $t = k!$ que daría $$\frac{t!}{t^{t/k}}$$

Pero creo que lo he hecho más difícil, ¡y no tengo otra pista!

Answer 1

Tenemos $$(n!)!=\prod_{i=1}^{n!}i=\prod_{k=1}^{(n-1)!}u_{n,k}$$ donde $$u_{n,k}=\prod_{i=kn-n+1}^{kn}i=(kn-n+1)\cdots(kn)=n!{kn\choose{n}}$$ de ahí $$(n!)!=(n!)^{(n-1)!}\left(\prod_{k=1}^{(n-1)!}{kn\choose n}\right)$$

Answer 2

El coeficiente multinomial $$ {n\choose k_1,k_2,\ldots, k_r}, $$ donde todas las variables son números enteros no negativos y $k_1+k_2+\cdots+k_r=n$ cuenta el número de maneras en que podemos dividir un conjunto de $n$ objetos en subconjuntos $A_1,A_2,\ldots,A_r$ tal que $|A_i|=k_i$ para cada $i$ . Alternativamente es el coeficiente del término $x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_r^{k_r}$ en la expansión multinomial de $(x_1+x_2+\cdots+x_r)^n$ .

Es fácil demostrar por inducción en $r$ (utilizando el coeficiente binomial más común como caso base, así como el paso inductivo) que $$ {n\choose k_1,k_2,\ldots, k_r}=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}. $$

El número de la pregunta es el coeficiente multinomial con $n=k!$ , $r=(k-1)!$ y $k_i=k$ para todos $i=1,2,\ldots,(k-1)!$ .

Por lo tanto, es un número entero.

Answer 3

Una pista:

Supongamos que hay $(k-1)!$ colores, y que tiene $k$ bolas de cada color. De cuántas formas puedes ordenarlas en una larga fila?