localizar un punto dentro de un triángulo tal que la distancia total a los vértices sea un máximo

Question

En geometría, el Punto Fermat es un punto dentro de o en un triángulo tal que la distancia total de los tres vértices del triángulo al punto es la mínimo posible.

Después de haber estudiado el punto de Fermat, tengo curiosidad por la siguiente pregunta

Dónde se encuentra el punto dentro de o en un triángulo tal que la distancia total de los tres vértices del triángulo al punto es la máximo ¿es posible?

Supongo que el punto se encuentra en las aristas o en los vértices del triángulo.

Answer 1

La suma de las distancias no tiene un máximo dentro del triángulo, por lo que el máximo debe estar en el límite.

Si el punto máximo $P$ está al límite $AB$ la suma de las distancias es $AB$ más la distancia desde $P$ al tercer vertiex $C$ . Esto se maximiza en $P=A$ o $P=B$ . Por lo tanto, la suma máxima de distancias se alcanza en un vértice.

Además, el máximo estará en el vértice opuesto a la arista más corta.

Answer 2

Consideramos la función $$f(x,y) = \sum_{j=1}^3 [(x-a_j)^2+(y-b_j)^2]$$ donde $(a_j,b_j)$ los vértices del triángulo.

Sólo hay un punto crítico que es $(\frac{a_1+a_2+a_3}{3},\frac{b_1+b_2+b_3}{3})$ que es un mínimo y el punto central del triángulo.

Por lo tanto, el punto situado dentro o sobre el triángulo con la máxima distancia total a los 3 vértices debe estar en la frontera del dominio para $(x,y)$ es decir en el triángulo . Esto se deduce del hecho de que $f: K\rightarrow \mathbb{R}$ donde $K$ es el triángulo con su interior, es una función continua sobre un conjunto compacto por lo que alcanza un valor máximo. Como no tiene un máximo local el valor máximo se alcanza en el límite.

Entonces, como ya se ha sugerido en otra respuesta publicada: que $A,B,C$ los vértices y asumir que el punto $D=(x,y)$ que buscamos, radica en $AB$ . Entonces la distancia total de los 3 vértices, sea $d$ es igual a $d=AB+DC$ . Además, $DC$ está limitada por encima de la $\max{\{AC,BC\}}$ . Por lo tanto, $D$ es el vértice $A$ o $B$ si $AC\geq BC$ o $BC\geq AC$ respectivamente.

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En otras palabras, el punto que maximiza la distancia de los 3 vértices del triángulo es el vértice cuyas aristas adyacentes son las dos más largas.

Answer 3

Sé que la pregunta ya tiene una respuesta aceptada, pero sólo quiero hacer un comentario que nadie pareció notar. Dejemos que $(a_j,b_j)$ sean los vértices del triángulo, $j=1,2,3.$ Queremos encontrar $(x,y)$ en $conv\{(a_j,b_j)\}$ para maximizar

$$f(x,y)=\sum_{j=1}^3(x-a_j)^2+(y-b_j)^2.$$ Tenga en cuenta que $f$ es convexa y el triángulo es un conjunto compacto cuyos puntos extremos son sus vértices. Es bien sabido que una función convexa alcanza su máximo en uno de los vértices, y el resultado se deduce.