Algunas preguntas acerca de un ejercicio sobre $C^\infty \subset L^\infty$

Question

Vamos $$ L^\infty (\mathbb R) = \{f : \mathbb R \to \mathbb C\mid \text{essential sup of } f < \infty \text{ and } f \text{ Borel measurable} \}$$

y

$$ C^\infty (\mathbb R ) = \{ f: \mathbb R \to \mathbb C \mid f \text{ continuous }, \lim_{|x|\to \infty}f(x) = 0 \}$$

Yo iba a resolver el siguiente ejercicio, pero entonces se dio cuenta de que hubo un par de cosas que no estaban claras para mí. Aquí es el ejercicio:

Demostrar que existe un elemento $\lambda \in (L^\infty (\mathbb R))^\ast$ tal que $\lambda (f) = f(0) $ todos los $f \in C^\infty(\mathbb R)$.

Sugerencia: Utilice las consecuencias de la de Hahn-Banach teorema.

Aquí están mis pensamientos y preguntas:

(1) Es claro para mí que $C^\infty$ es un subespacio del espacio de la delimitadas las funciones de $B(\mathbb R)$, pero aquí en este ejercicio $L^\infty$ es un espacio que consta de elementos que son clases de equivalencia.

No es esto un problema? Qué $C^\infty$ incrustar en $L^\infty$? (No estoy seguro incrustar es la palabra correcta...)

(2) Digo que uso representantes de $L^\infty$, de modo que (1) no es un problema. Entonces a mí me parece que la evaluación map $f \mapsto f(0)$ es un elemento de $(L^\infty)^\ast$. Y esto podría responder a la pregunta, pero la sugerencia se sugiere que me estoy perdiendo algo.

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Deje $\mathscr C^{\infty}$ ser el espacio vectorial de casi todas partes de clases de equivalencia de los elementos de $C^{\infty}$. Que es, $$\mathscr C^{\infty}\equiv\{[f]\,|\,f\in C^{\infty}\},$$ where, for each $f\C^{\infty}$, $$[f]\equiv\left\{g:\mathbb R\to\mathbb C\,\big|\,g\text{ is Borel measurable and }g\overset{\text{a.e.}}{=}f\right\}.$$ Since almost-everywhere equivalence does not change the essential supremum norm, one has, for any $f\C^{\infty}$, that $\|[f]\|_{\infty}=\|f\|_{\mathsf u}$, where $\|f\|_{\mathsf u}$ is the usual uniform norm (as you already observed, every $f\C^{\infty}$ is bounded, so this makes sense). This is because the essential supremum norm of a bounded continuous function is actually equal to the uniform norm. In short, we just proved that $\mathscr C^{\infty}\subseteq L^{\infty}$, where $L^{\infty}$ es el espacio de clases de equivalencia de Borel medible de funciones con finito esencial suprema.

Definir el mapa de $\mu: {\mathscr C}^{\infty}\to\mathbb R$ $\mu([f])\equiv f(0)$ por cada $f\in C^{\infty}$. Esto está bien definido, ya que cualquier clase de equivalencia en ${\mathscr C}^{\infty}$ contiene exactamente una función continua (contiene al menos una por definición, y no puede contener dos, porque dos funciones continuas que son iguales en casi todas partes son, de hecho, igual en todas partes). También, uno tiene que $$|\mu([f])|=|f(0)|\leq\|f\|_{\mathsf u}=\|[f]\|_{\infty},$$ so that $\mu$ is a bounded linear functional on the subspace $\mathscr C^{\infty}$ of $L^{\infty}$. Now you can use the Hahn–Banach theorem to obtain a bounded linear functional $\lambda:L^{\infty}\to\mathbb R$ such that $\lambda([f])=f(0)$ for any $f\C^{\infty}$; or, less rigorously speaking, "$\lambda(f)=f(0)$ for any $f\C^{\infty}$."

De este modo menos riguroso declaración es formalmente incorrecto (que es a lo que probablemente causó la confusión), pero, al final del día, te hace sentido intuitivo: Después de todo, $\lambda$ es un funcional que recoge el (único) elemento que se encuentra en $ C^{\infty}$ de cada clase de equivalencia que contiene un elemento, y asigna el valor de la función en $0$ a la clase de equivalencia.