¿Hace Nash ' teorema s permiten una representación incrustada del tensor de Riemann sin pérdida de generalidad?

Question

Hace Nash del teorema de permitir una incrustado representación del tensor de Riemann, sin pérdida de generalidad?

Basado en lo que se encuentra aquí Nash incrustación teorema: "El Nash de la incrustación de teoremas (o involucración teoremas), con el nombre de John Forbes Nash, estado en el que cada Riemann colector puede ser isométricamente incrustado en algún espacio Euclidiano."

En el siguiente post : Cómo probar la derivada covariante no puede ser escrito como una eigendecomposition de la derivada parcial?, Descubrí una incrustado representación del tensor de Riemann

$$\begin{align}\tag{1} R_{adbc} = \dfrac{\partial y_\alpha}{\partial x^a} \dfrac{\partial \Delta^{\alpha \beta} }{\partial x^b} \dfrac{\partial^2 y_\beta}{\partial x^c \partial x^d} \bigg|_{[b,c]} = \left( \partial_b \Gamma_{acd} - \Gamma_{kab}\Gamma^{k}{}_{cd}{} \right) \bigg|_{[b,c]} , \end{align}$$ donde $x^b$ está incrustado en $y^\beta$,
$$\begin{align}\tag{2} \Gamma_{abc} = \tfrac{1}{2}\left( \partial_b g_{ac} + \partial_c g_{ba} - \partial_a g_{bc} \right) = \dfrac{\partial y_\alpha}{\partial x^a} \dfrac{\partial^2 y^\alpha}{\partial x^b \partial x^c} \end{align}$$ es el símbolo de Christoffel, $$\begin{align} g_{mn} = \dfrac{\partial y^\alpha}{\partial x^m} \dfrac{\partial y_\alpha}{\partial x^n} \end{align}$$ es el tensor métrico, $$\begin{align}\tag{5} \partial_b = \dfrac{\partial }{\partial x_b} \end{align}$$ es la derivada parcial, $$\begin{align}\tag{3} A_{bc}\big|_{[b,c]} = A_{bc}-A_{cb} \end{align}$$ es el índice de colector, y $$\begin{align}\tag{4} \Delta^{\alpha \beta} = \dfrac{\partial y^\alpha}{\partial x^m} g^{mn} \dfrac{\partial y^\beta}{\partial x^n} \end{align}$$ donde $g^{mn}$ es la matriz inversa de a $g_{mn}$.

El tensor de la $\Delta^{\alpha \beta}$ se puede resumir como una barra curva en la matriz de identidad con las siguientes propiedades: $$\begin{align} \Delta^{\alpha\beta} &=& \lim_{g\rightarrow\text{flat}} \partial_{b}\Delta^{\alpha \beta} &=& \partial_b \delta^{\alpha \beta} &=& \partial_b (\text{constant}) &=& 0 \\ \Delta^{\alpha\beta} &=& \lim_{g\rightarrow\text{curved}} \partial_{b}\Delta^{\alpha \beta} &=& \partial_{b}\Delta^{\alpha \beta} &=& \partial_b (\text{variable}) &\neq& 0 \end{align}$$ donde $\delta^{\alpha\beta}$ es la matriz identidad.

En mi opinión, el incrustados representación de $R_{adbc}$ $\Delta^{\alpha\beta}$ es una potente representación que de manera explícita se muestra cómo el tensor de Riemann es una medida de la existencia de curvative en la métrica en cuestión. Sin embargo, no sé si Eq. (1) es una representación del tensor de Riemann que las pérdidas de generalidad (no cubre todos los ejemplos de indicadores a ser evaluados), y si Nash del teorema permite Eq. (1) en general. Además, yo nunca he visto el tensor de Riemann en la forma en la Eq. (1), y me pregunto si esta representación ha sido publicado en otro lugar.

Answer 1

Su $\Delta^{\alpha\beta}$ es los valores de coordenadas de la diferencial de la métrica inversa en su colector integrado. Esto se puede interpretar como la métrica ambiente menos proyecciones: el paquete normal. Lo que significa que...

¡Felicidades! Vuelve a haber descubierto una forma equivalente de la ecuación de Gauss para incrustaciones en espacios euclidianos.