Evaluar la $\lim_{x \to \ -\infty} (x + \sqrt{x^2 + 2x})$

Question

Evaluar : $$\lim_{x \to \ -\infty} (x + \sqrt{x^2 + 2x})$$

He intentado algunas manipulaciones algebraicas básicas para ponerlo en una forma en la que pueda aplicar la Regla de L'Hopital, pero sigue siendo una forma indeterminada.

Esto es lo que he hecho hasta ahora

\begin {align} \lim_ {x \to \ - \infty } (x + \sqrt {x^2 + 2x}) &= \lim_ {x \to \ - \infty } (x + \sqrt {x^2 + 2x}) \left ( \frac {x- \sqrt {x^2 + 2x}}{x- \sqrt {x^2 + 2x}} \right ) \\ \\ &= \lim_ {x \to \ - \infty } \left ( \frac {x^2 - (x^2 + 2x)}{x- \sqrt {x^2 + 2x}} \right ) \\ \\ &= \lim_ {x \to \ - \infty } \left ( \frac {-2x}{x- \sqrt {x^2 + 2x}} \right ) \\ \\ \end {align}

Y hasta ahí he llegado. He intentado aplicar la regla de L'Hopitals, pero sigue resultando una forma indeterminada.

Si lo introducimos en WolframAlpha, la respuesta correcta es $-1$

¿Alguna sugerencia sobre qué hacer a continuación?

Answer 1

$$\lim _{ x\to -\infty } \left( \frac { -2x }{ x-\sqrt { x^{ 2 }+2x } } \right) =\lim _{ x\rightarrow -\infty }{ \left( \frac { -2x }{ x-\sqrt { { x }^{ 2 }\left( 1+\frac { 2 }{ x } \right) } } \right) =\lim _{ x\rightarrow -\infty }{ \frac { -2x }{ x-\left| x \right| \sqrt { 1+\frac { 2 }{ x } } } = } } \\ =\lim _{ x\rightarrow -\infty }{ \frac { -2x }{ x+x\sqrt { 1+\frac { 2 }{ x } } } = } \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ \frac { -2x }{ x\left( 1+\sqrt { 1+\frac { 2 }{ x } } \right) } = } -1$$

Answer 2

SUGERENCIA:

Establecer $-1/x=h\implies h\to0^+, h>0$

$x^2+2x=\dfrac{1-2h}{h^2}\implies\sqrt{x^2+2x}=+\dfrac{\sqrt{1-2h}}h$

Ahora racionalice el numerador para obtener

$$\dfrac{\sqrt{1-2h}-1}h=\dfrac{1-2h-1}{h(\sqrt{1-2h}+1)}$$

Answer 3

Esto se basa en la respuesta de @Battani pero con una explicación más profunda

\begin {align} \lim _{ x \to - \infty } \left ( \frac { -2x }{ x- \sqrt { x^{ 2 }+2x } } \right ) &= \lim _{ x \rightarrow - \infty } \left ( \frac { -2x }{ x- \sqrt { { x }^{ 2 } \left ( 1+ \frac { 2 }{ x } \right ) } } \right ) \\ \\ & \text {Ahora porque $\sqrt{x^2}$ = $|x|$ } \\ \\ &= \lim _{ x \rightarrow - \infty } \frac { -2x }{ x- \left | x \right | \sqrt { 1+ \frac { 2 }{ x } } } \\ \\ \text {Recuerda que } & |x| = \begin {casos} x & \text { si } \ ~ \ ~ x \geq 0 \\ - x & \text { si } \ ~ x < 0 \\ \end {casos} \\ \\ & \text { $x$ se acerca $-\infty$ } \\ \\ & \therefore |x| = -x \\ \\ &= \lim _{ x \rightarrow - \infty } \frac { -2x }{ x- (-x) \sqrt { 1+ \frac { 2 }{ x } } } \\ \\ &= \lim _{ x \rightarrow - \infty } \frac { -2x }{ x + x \sqrt { 1+ \frac { 2 }{ x } } } \\ \\ &= \lim _{ x \rightarrow - \infty } \frac { -2x }{ x \left ( 1+ \sqrt { 1+ \frac { 2 }{ x } } \right ) } \\ \\ &= \lim _{ x \rightarrow - \infty } \frac { -2 }{ 1+ \sqrt { 1+ \frac { 2 }{ x } } } \\\\ &= -1 \end {align}

Answer 4

Esta solución es probablemente defectuosa, pero la publicaré de todos modos. Tenga en cuenta que $$\lim_{x \to \ -\infty} \left(x + \sqrt{x^2 + 2x}\right)$$ $$=\lim_{x \to \ -\infty} \left(x + \sqrt{(x+1)^2-1}\right).$$ El $-1$ en el radical es básicamente insignificante comparado con el $(x+1)^2$ Así que ignoremos eso. Haciendo esto se obtiene $$\lim_{x \to \ -\infty} \left(x + \sqrt{(x+1)^2}\right)$$ $$=\lim_{x \to \ -\infty} \left(x \pm (x+1)\right)$$ $-(x+1)$ es positivo, mientras que $x+1$ es negativo para un nivel suficientemente bajo de $x$ . Las raíces cuadradas son siempre no negativas para los reales $x$ , por lo que deberíamos añadir $-(x+1)$ . Al hacerlo, se obtiene $$\lim_{x \to \ -\infty} \left(x - (x+1)\right)$$ $$=\lim_{x \to \ -\infty} -1$$ $$=\boxed{-1}.$$