en la integración por las piezas infinitamente muchas veces

Question

se sabe que si $ g(x), f(x)$ son dos funciones ,y $f(x)$ es lo suficientemente diferenciable , entonces por repetir la integración por partes que uno obtiene :

$$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx -f^{'}(x)\int\int g(x)dx^{2}+f^{''}(x)\int \int \int g(x)dx^{3} - .... +(-1)^{n+1}f^{(n)}(x)\underbrace{\int.....\int}g(x)dx^{n+1}+(-1)^{n}\int\left[ \underbrace{\int.....\int}g(x)dx^{n+1}\right ]f^{n+1}(x)dx$$

ahora, si $f(x) $ es una función suave,y ninguno de los términos en la expansión/suma es igual a $\pm\int f(x)g(x)dx$ , sería de esperar que la fórmula de arriba a repetirse infinidad de veces . por lo tanto :

$$\lim_{n \to \infty }\int\left[ \underbrace{\int.....\int}g(x)dx^{n+1}\right ] f^{n+1}(x)dx=0$$

es una condición necesaria pero no suficiente para la suma converge . mi pregunta es , ¿cuáles son las condiciones necesarias para extender el ámbito de aplicación de la fórmula para realizar el IBP infinitamente muchas veces - !?!? también, hay teoremas sobre las múltiples integrales - los que contengan $g(x)$ - además de la fórmula de cauchy para repetir la integración

Answer 1

No veo cómo el repetido IBP fórmula puede implicar el límite que mencionar es $0$, incluso cuando el integrando es suave. Por ejemplo, con $f(x) = e^x$$g(x) = \sin x$, entonces el límite no tienden (incluso pointwise) a $0$. En su lugar, hay una "repetición" en la fórmula que permite llevar a cabo la integración:

$$\int e^x \sin x \;dx = e^x(-\cos x) - e^x(-\sin x) + \int e^x(-\sin x) \;dx$$

$$ 2\int e^x \sin x \; dx = e^x(\sin x - \cos x) $$

$$ \int e^x \sin x \; dx = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)$$

Así que usted puede ver la "suma" implícita por múltiples IBP no necesitan converger en el sentido de que la suma de $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ converge. Todo lo que uno necesita para múltiples IBP es algún número finito de términos para trabajar con.

Espero que esto ayude!