Yo, básicamente, tiene que demostrar que $d(R/(e))\cong R/(\frac{e}{g})$ donde $R$ es un PID, y $\gcd(e,d)=(g)$.
He definido $\pi:d(R/(e))\rightarrow R/(\frac{e}{g})$$\pi:dr+dce\mapsto \frac{dr+dce}{g}$. Tenga en cuenta que aunque no estamos en un campo, podemos dividir estos elementos por $g$ desde que se divide $d$$e$. La función es claramente un homomorphism así que tengo que demostrar que es inyectiva y surjective.
Para la inyectividad básicamente tengo que decir que si $$\frac{d}{g}r+dc\frac{e}{g}\in \left(\frac{e}{g}\right)$$ que pasa si $$\frac{d}{g}r\in \left(\frac{e}{g}\right)$$ Esto es equivalente a decir que para algunos $k\in R$: $$\frac{d}{g}r=k\frac{e}{g}$$ Por lo tanto, $dr=ke\in (e)$, ergo, $dr+dce$ es de cero en $d(R/(e))$ lo que significa que el kernel es trivial y por lo tanto la función es inyectiva.
Para surjectivity dejo $r+c\frac{e}{g}\in R/(\frac{e}{g})$, entonces quiero encontrar a $r_1,c_1\in R$ tal que $dr_1+dc_1e\mapsto r+c\frac{e}{g}$, pero me sale algo como $$r_1=r\frac{g}{d}$$$$c_1=\frac{c}{d}$$The problem that I have is that dividing by $d$ in this case might not be in my $R$, así que estoy bastante atascado aquí.
Alguna ayuda?
Gracias
