Dejar los tres puntos a,B,C los vértices de un movimiento esférico triángulo en la superficie de una esfera. El triángulo se mueve de modo que, mientras los vértices a,B permanece fijo, el ángulo BCA en el vértice C se mantiene constante. ¿Cuál es el lugar geométrico de los movimientos del vértice C? Hay un nombre especial para la curva trazada por C? Si a,B,C son los vértices de un triángulo plano, el correspondiente lugar sería el arco de un círculo. He hecho algunos cálculos, que-si no contienen errores-me llevan a creer que, en el esférico caso, el locus estoy buscando no es el arco de un círculo pequeño (en la esfera). Pero, si es así, no sé qué tipo de curva es.
Respuesta
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Deje $O$ ser el centro de la esfera. A continuación, el esférico $BCA$ ángulo de $\gamma$ es el ángulo entre los planos a través de$O,A,C$$O,B,C$. Por lo que podemos encontrar nuestro lugar en la siguiente forma: tomamos un avión $\pi$ a través de $O,A$ y encontrar un avión $\tau$ a través de $O,B$ de manera tal que el ángulo entre el $\pi$ $\tau$ es igual a $\gamma$. Por la intersección de $\pi\cap\tau$ con la esfera encontramos cada punto de nuestro locus. Como alternativa, se puede explotar el esférico coseno regla: $$ \cos C = \frac{\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}\tag{1}$$ donde $c=\widehat{AOB}$ y así sucesivamente. Observe que tanto $c$ $C$ son fijos, así que todo se reduce a un no-tan trivial restricción entre el$a$$b$.
