Matemáticas discretas. Resuelve la ecuación en el conjunto de los números naturales.

Question

Tengo que resolver la ecuación $$m^4-n^4=5(m^3+n^3)$$ en el conjunto de los números naturales. He escrito un código sencillo en java y he resuelto la ecuación. La única solución en el conjunto de los números naturales es $m = 6$ y $n = 3$ .

Llevo al menos 3-4 horas intentando conseguir esta solución matemática y estoy atascado. Realmente espero que haya alguien que pueda mostrarme cómo resolver esta ecuación. ¡Gracias!

Answer 1

Pista 1: Podemos suponer que $n\le m$ ;

Pista 2: Podemos simplificar la ecuación a $$(m-n)(m^2+n^2)=5(m^2+n^2-mn);$$

Pista 3: La nueva ecuación nos da $(m-n)<5$ (?);

Pista 4: Si $(m-n)=k$ entonces $k=1,2,3$ o $4$ ;

Pista 5: De la nueva ecuación tenemos $$k(2n^2+2nk+k^2)=5(k^2+n^2+kn);$$

Pista 6: Por $3^{rd}$ ecuación el único caso posible es $k=3$ .

Answer 2

Ampliar $m^4-n^4$ restando el lado derecho, reagrupando los términos mediante la factorización $m^3+n^3$ y dividiendo por $m$$ +n $, we finally arrive at $\underbrace {(m^2+n^2-mn)}_(m-n)^2\N+\Nmn\Nde la misma manera. \ge\ 0} \Big [m-(n+5) \Big ]=mn,(n-m) $, which would imply that $ m-5 \le n \le m \iff n=m-k $, where $ 0 \le k \le5 $. Reemplazando esto en la ecuación anterior, llegamos finalmente a una ecuación cuadrática en m de donde se deduce que $m=k\left[\dfrac12\pm\dfrac{\sqrt{4k\,(10-k)-75}}{4k-10}\right]$ . Probando los seis valores posibles, tenemos $k=3\to$$ m=6 $$\to n=3$ y $k=5\to m=5\to n=0$ . QED.

Answer 3

Obviamente $ m>n. m^4-n^4=(m-n)*(m^3+m^2*n+m*n^2+n^3)=5*(m^3+n^3).$

Ahora es fácil localizar que podemos atar esta cosa.Si $ m-n>=5 $ L.H.S>R.H.S.

Si $m-n=1$ tenemos $m^3+m^2*n+m*n^2+n^3<4m^3$

Si $m-n=2$ tenemos $3*(m^3+n^3)=2mn*(n+m)$ sustituyendo $m^3+n^3=(m+n)^3-mn*(m+n)$ obtenemos $3m^2+3n^2=5mn$ pero por la desigualdad de medias tenemos $3m^2+3n^2>=6mn$

Si $m-n=3$ haciendo lo mismo obtenemos $2m^2+2n^2=5mn$ sustituyendo $m=n+3$ produce $n^3+3n-18=0;(n-3)*(n+6)=0,$ Al comprobar (6,3) se satisface la igualdad

Si $m-n=4$ obtenemos $4mn*(m+n)=m^3+n^3=>m^2+n^2=5mn$ así que $n|m$ Por lo tanto $n<=m/2$ Así que $ m<=8$ ; $n<=4$ , por comprobación no aparecen otras soluciones.