¿Por qué el Grupo de Teoría de no venir aquí?

Question

Aquí está una lista de preguntas que me resulta bastante similar, por la única razón de que todos ellos muestran mucho "simetría". Que es al mismo tiempo mi problema, porque yo no tengo una muy noción precisa de lo que supone "simetría". Aquí viene:

• Cómo probar esta desigualdad $\frac{2}{(a+b)(4-ab)}+\frac{2}{(b+c)(4-bc)}+\frac{2}{(a+c)(4-ac)}\ge 1$
• Muy interesante la teoría de los números preguntas
• Cómo encontrar esta desigualdad $\max{\left(\min{\left(|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-e|,|e-a|\right)}\right)}$
• Cómo probar esta desigualdad $\frac{x^y}{y^x}+\frac{y^z}{z^y}+\frac{z^x}{x^z}\ge 3$
• Una generalización de la OMI 1983 problema 6
• Cómo probar esta desigualdad $(a^2+bc^4)(b^2+ca^4)(c^2+ab^4) \leq 64$
• Encontrar max: $M=\frac{a}{b^2+c^2+a}+\frac{b}{c^2+a^2+b}+\frac{c}{a^2+b^2+c}$
• Cómo probar esta desigualdad $\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{d+3}+\frac{d}{a+3}\le 1$

Una última pregunta como un ejemplo. Deje $a=b=c=d$, $a^2+b^2+c^2+d^2=4\,$ es, por supuesto, cumplido, porque sabemos que $a,b,c,d\ge 0$ , si y sólo si $a=b=c=d=1$ .
Nadie se sorprendería (?) si $\;f(a,b,c,d)=a/(b+3)+b/(c+3)+c/(d+3)+d/(a+3)$ asume su único y máximo $f(a,b,c,d)=1/4+1/4+1/4+1/4=1$ precisamente para estos valores iguales de $(a,b,c,d)$ .
Mucho más que el mismo fenómeno se observa con el resto de las preguntas de arriba. La optimización de los parámetros resultan ser todos iguales, que a menudo puede ser la sospecha de antemano: "debido a la simetría".

Es frustrante que parece que no existe un teorema en algún lugar que garantiza un máximo o mínimo de una función cuando todas las variables de un problema con alta simetría son igual.
Quiero decir: una especie de formalización de la "simetría" que nos ayuda a encontrar soluciones de inmediato.
Ahora se supone que la teoría de grupos es la disciplina que debe enseñarnos mucho acerca de simetrías.
Así que la pregunta es: ¿por qué no en el grupo de teoría de forma rutinaria venir aquí?

La actualización. Por desgracia - y creo que es contra el espíritu de MSE - sucede a menudo que las mejores respuestas son en realidad como un comentario. De hecho, en una referencia clave para este tipo de problemas es:

• Hacer simétrica de los problemas tienen soluciones simétricas?

Es sólo con la ayuda de esta referencia que yo podría intentar responder a otra tal pregunta .

La actualización. Es una historia continua:

• Cómo probar esta desigualdad $\sum_{cyc}\frac{a^2}{b(a^2-ab+b^2)}\ge\frac{9}{a+b+c}$
• Cómo probar esto de la desigualdad(7)?
• Cómo probar esta desigualdad $\sum_{cyc}\frac{x+y}{\sqrt{x^2+xy+y^2+yz}}\ge 2+\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}$
• Cómo encontrar el valor mínimo de esta función?
• Probar esta desigualdad con $xyz\le 1$

Y la lista sigue creciendo ..

Answer 1

Teoría de grupo no entran en estas situaciones - y es en particular muy importante en la física - pero usted necesita entender cómo.

Hay un montón de ejemplos en los comentarios de situaciones donde simétrica (en virtud del intercambio de variables) de los problemas que han asimétrica (en virtud del intercambio de variables) extrema.

Supongamos que un grupo de $G$ actúa suavemente sobre algunas variables $\mathbf x$, y es una simetría de algunas de función $f(\mathbf x)$. Esto significa que $f(g\mathbf x) = f(\mathbf x)$ todos los $g\in G$. Por simplicidad, supongamos que $G$ es una matriz del grupo, por lo $g \mathbf x$ es simplemente una matriz de multiplicación de un vector. Por ejemplo, si $$G=\left\{\pmatrix{1 & 0\\ 0 & 1},\pmatrix{0 & 1\\ 1 & 0}\right\}$$, a continuación, esto corresponde a salir de las variables solos o intercambio de los mismos.

Ahora consideremos el conjunto de, digamos, global maxima $S$. Tomar cualquier $\mathbf y \in S$. A continuación, observe que para cualquier $g\in G$, $g \mathbf y$ tiene exactamente las mismas propiedades. En particular, porque $$f(g(\mathbf y + \delta \mathbf y)) = f(g\mathbf y + g\delta \mathbf y)$$ you can easily check that $g \mathbf y \in S$ too. (Clearly, $f$ has the same value here, and also if all small changes used to make $f$ menor, entonces todavía lo hacen.)

El resultado es que el $G$ también actúa en $S$ - toma máximos globales a máximos globales. Pero no necesariamente actuar trivialmente, que es el criterio que desees: queremos que cada elemento de a $S$ a ser invariantes bajo cada elemento de a $G$.

Un destacado ejemplo utilizado en la física es el sombrero Mexicano potencial (que vamos a utilizar al revés por ninguna buena razón). Considere la posibilidad de $f=-(|\mathbf x|^2 - a^2)^2$. Esto tiene el grupo de simetría $G = O(2)$ de todos los ortogonal de dos en dos matrices debido a que este se mantiene la longitud de $\mathbf x$. Claramente la función es mayor en $|\mathbf x| = a$, que es un círculo, nuestro set $S$. Este es, de hecho, actuó conforme a $G$: el círculo se asigna a sí mismo. Sin embargo, las rotaciones y reflexiones de la ley de la no-trivial - puntos en el círculo no se deja intacto por el grupo.

El conjunto de mínimos locales, por el contrario, es $\{\mathbf 0\}$, la cual se actuaba sobre trivialmente por $G$.

Este hecho lleva a cosas como la teoría de la representación, donde nos preguntamos ¿qué posibilidades hay de lo $G$ puede hacer para diversos espacios vectoriales.

Usted puede hacer todo lo anterior en una sola variable, por ejemplo ir a una dimensión, donde $|\mathbf x| = x$ $G$ es de aproximadamente el ejemplo de la matriz del grupo dada anteriormente (en realidad se trata de dejar a $x$ solo o considerar la posibilidad de $x\mapsto -x$). La misma cosa se aplica.

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Los físicos que hacer una gran cosa de estas (espontáneo) ruptura de la simetría de las situaciones porque son clave para la partícula de Higgs, efecto por el cual las partículas elementales aparentemente adquieren masa. La teoría de grupos, que regula el vacío ( $S$ ) es muy importante, y vale la pena decir más, pero esto no es probablemente no es el lugar!