Encuentre el valor de $S$ en términos de $k$ (sumas telescópicas)

Question

Dejemos que $k=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{5\times6}+\cdots+\frac{1}{2549\times2550}$ .

Encuentre el valor de $S=\frac{1275}{1276}+\frac{1276}{1277}+\frac{1277}{1278}+\cdots+\frac{2548}{2549}$ en términos de $k$ .

He tratado de escribir los términos de $S$ de la siguiente manera:

\begin {align} \frac {1275}{1276} & = \frac {1}{1 \times2 }+ \frac {1}{2 \times3 }+ \cdots + \frac {1}{1275 \times1276 } \\ \frac {1276}{1277} & = \frac {1}{1 \times2 }+ \frac {1}{2 \times3 }+ \cdots + \frac {1}{1276 \times1277 } \\ & \,\,\, \vdots \\ \frac {2548}{2549} & = \frac {1}{1 \times2 }+ \frac {1}{2 \times3 }+ \cdots + \frac {1}{2548 \times2549 } \end {align}

Pero no es suficiente, porque en $k$ no tenemos $\frac{1}{2\times3}$ , $\frac{1}{4\times5}$ etc.

¿Pueden ayudarme a resolver el problema? Gracias.

Answer 1

Sus sumas son $k_{1275}$ y $S_{1275}$ donde $$\cases{k_n=\sum_{i=1}^n\frac1{(2i-1)(2i)}\\S_n=\sum_{i=n}^{2n-2}\frac{i}{i+1}}$$

Se puede demostrar por inducción que $$\forall n\geq 2,S_n=n-1+\frac1{2n}-k_n.$$

Answer 2

$k=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{5\times6}+\cdots+\frac{1}{2549\times2550} = \frac{1}{1}-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2549}-\frac{1}{2550}$

Recogiendo par e impar y con alguna manipulación, obtenemos

$k = H_{2550} - H_{1275}$ donde $H_n$ = número armónico

$S = 1 - \frac{1}{1276} + 1 - \frac{1}{1277} + ... + 1 - \frac{1}{2549}$

Recogiendo las y con algo de manipulación conseguimos:

$S = 1274 - (H_{2550} - H_{1275}) + \frac{1}{2550} = 1274 - k + \frac{1}{2550}$

Answer 3

Tenga en cuenta que su suma es $$\sum_{n=1}^{1275}{\frac{1}{2n(2n-1)}}$$ Podemos reescribir esto usando fracciones parciales como $$\sum_{n=1}^{1275}{\bigg[\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\bigg]}$$ y utilizar el telescopio desde allí.